§ 7. Скалярное пройзведение и ковариантные координаты

1. Скалярное произведение двух векторов выражается через координаты векторов двойной суммой

или билинейной формой двух рядов переменных Если ввести для коэффициентов этой формы обозначения

то

или

В частности, скалярный квадрат вектора выражается квадратичной формой

или

которая называется метрической формой плоскости.

Матрица

также называется метрической; эта матрица симметрична, так как

Рассматривая векторное произведение масштабных векторов и применяя известное векторное тождество, мы получим соотношение

которое показывает, что дискриминант метрической формы положителен.

2. Рассмотрим скалярные произведения

вектора на масштабные векторы системы; эти произведения называются ковариантными координатами вектора. В отличие от ковариантных координат те, которые мы рассматривали ранее, называются контравариантными.

Координаты обоих типов просто выражаются друг через друга. Действительно, из (2) § 6 следует

или

Разрешая эти уравнения относительно и вводя следующие обозначения приведенных миноров метрической матрицы

мы получим выражение контравариантных координат через ковариантные

Заметим, что элементы метрической матрицы и ее приведенные миноры тоже связаны соотношением

где символ Кронеккера.

Соотношения (8) и (10) показывают, что линейная зависимость между ковариантными координатами равносильна линейной зависимости между контравариантными координатами. Отсюда следует, что и линейная зависимость векторов равносильна такой же линейной зависимости между ковариантными координатами.

Понятие ковариантных координат позволяет получить простое выражение для скалярного произведения. Действительно, в силу (2) и (8)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений ковариантных координат одного из них на контравариантные координаты другого.

Скалярные произведения можно выразить также и через ковариантные координаты обоих сомножителей, подставляя в (12) выражение из (10). После этого мы будем иметь