§ 68. Поверхность переноса

Рассмотрим поверхность, допускающую существование сопряженной чебышевской сети.

Если эта сеть принята за координатную, то согласно (7) § 27 коэффициент ее второй квадратичной формы

С другой стороны, так как эта сеть чебышевская, то в силу (4) § 67

и одно из деривационных уравнений (2) § 48 принимает вид

и имеет общее решение вида

где векторы, зависящие только от и только от соответственно.

Уравнение (2) показывает, что поверхность может быть получена в результате параллельного переноса кривой

точка которой скользит по кривой о о

Очевидно также, что ту же поверхность можно получить параллельным переносом кривой по кривой

Называя сеть, образованную линиями, переносимыми параллельно, сетью переноса, мы приходим к следующему результату: сопряженная чебышевская сеть есть сеть переноса.

Следует отметить, что вторая квадратичная форма плоскости всегда равна нулю и, следовательно, уравнение (1) выполняется для всякой чебышевской сети плоскости. Таким образом, всякая чебышевская сеть на плоскости есть сеть переноса.

Поверхность, имеющую сеть переноса, называют поверхностью переноса.

Отметим некоторые частные случаи таких поверхностей.

Всякий параболоид

есть поверхность переноса параболы по параболе.

Всякая цилиндрическая поверхность есть поверхность переноса прямой по любой направляющей кривой.

Прямой геликоид есть тоже поверхность переноса. Чтобы показать это, сделаем в его уравнении

замену переменных

после которой

или

Таким образом, геликоид есть поверхность переноса винтовой линии, расположенной на цилиндре радиуса с по такой же винтовой линии. Так как с есть произвольная постоянная, то на геликоиде существует бесконечное число сетей переноса.