§ 45. Ротация векторного поля

1. Векторное поле на поверхности задается координатами своего вектора V, которые определяются в функции параметров так, что

Векторными линиями называются такие линии на поверхности, которые касаются в каждой своей точке вектора поля. Дифференциальное уравнение векторных линий имеет вид (2) § 21

а уравнение ортогональных траекторий поля

Теория векторного поля заимствует из механики понятие работы. Работой поля по некоторой линии принадлежащей поверхности, называется криволинейный интеграл от проекции вектора поля на касательный вектор этой кривой, распространенный на всю эту кривую. Таким образом, работа

или короче

Работа по замкнутому контуру называется циркуляцией. При этом для определенности будем предполагать, что направление интегрирования совпадает с положительным направлением обхода контура, т. е. таким направлением, при котором область, ограниченная контуром, находится на левую руку наблюдателя, движущегося с положительной стороны поверхности.

Применение формулы Грина к выражению циркуляции дает

Двойной интеграл в правой части может быть представлен в следующем виде:

где координаты дискриминантного тензора поверхности. Но в таком виде он совпадает с выражением интеграла по поверхности, а интегрируемую функцию можно представить в виде суммы

Величина (6) называется ротацией векторного поля. Таким образом, формула

говорит, что циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна интегралу от ротации поля по поверхности области, ограниченной этим контуром.

Применяя теорему об интегральном среднем к правой части (7) и стягивая контур к некоторой точке поверхности, мы без труда получим

Итак, ротация поля в некоторой его точке равна пределу отношения циркуляции поля по замкнутому контуру, стягивающемуся к этой точке, к площади области, ограниченной этим контуром.

Этот результат показывает, что значение ротации не зависит от способа параметризации поверхности, или, иначе говоря, ротация есть инвариант.

2. Поле называется потенциальным, если его ротация равна нулю в каждой его точке.

Из условия

следует, что и являются частными производными некоторой функции V

Итак, для того чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы вектор этого поля был градиентом некоторой скалярной функции. Эта функция называется потенциалом поля. Заметим, что потенциал определяется не однозначно, а с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

3. Ортогональные траектории произвольного векторного поля образуют семейство, зависящее от одного параметра Относя каждой точке поверхности то значение этого параметра, которое соответствует ортогональной траектории, проходящей через эту точку, мы можем рассматривать как функцию координат точки

Но линии уровня этого скалярного поля совпадают с ортогональными траекториями поля, и вследствие этого вектор поля коллинеарен градиенту функции

Таким образом, вектор всякого поля отличается толыо скалярным множителем от вектора потенциального поля.

Как известно, множитель — называется интегрирующим множителем для уравнения (3), определяющего ортогональные траектории.

Нам чаще придется иметь дело с величиной которую мы будем называть интегрирующим делителем поля мы будем также называть вектор его направляющим градиентом,

Направляющий градиент определяется неоднозначно, так как при замене его потенциала через имеем который коллинеарен прежнему градиенту.

4. Метрический тензор поверхности может быть представлен через единичные и взаимно ортогональные векторы а и по формуле (11) § 11

Если являются интегральными делителями этих полей, а потенциалы их направляющих градиентов то

и линейный элемент поверхности

Таким образом, величины в выражении линейного элемента вида (12) совпадают с интегрирующими делителями единичных векторов координатных линий, образующих ортогональную сеть.