§ 27. Сопряженные направления и сети

1. Рассмотрим семейство плоскостей, касающихся поверхности в точках некоторой кривой

Это семейство будет однопараметрическим, так как каждая его плоскость определяется значением параметра соответствующего положению точки на кривой.

Характеристика семейства проходит через точку прикосновения соответствующей плоскости и поверхности, единичный направляющий вектор характеристики определяется из условий (6) § 17

Обозначим через

дифференциал нормального вектора поверхности при движении по данной кривой, а через

— касательный вектор, направленный по характеристике рассматриваемого семейства (черт. 29). В таком случае второе из условий (1) принимает вид уравнения

из которого найдется отношение дифференциалов определяющее направление характеристики, но

и, приняв во внимание второе выражение коэффициентов второй квадратичной формы, получим окончательно

Черт. 29.

Но эта зависимость между двумя направлениями есть сопряженность относительно индикатрисы Дюпена.

Полученный результат мы можем сформулировать следующим образом: для того чтобы прямые, касающиеся поверхности в точках некоторой кривой, были характеристиками семейства плоскостей, касающихся поверхности в тех же точках, необходимо и достаточно, чтобы направления этих прямых и направления касательных данной кривой были сопряжены относительно индикатрисы Дюпена в точках их пересечения.

Характеристики семейства плоскостей всегда образуют развертывающуюся поверхность, что позволяет сформулировать предыдущий результат в следующем виде:

Для того чтобы прямые, касающиеся поверхности в точках некоторой кривой, составляли развертывающуюся поверхность, необходимо и достаточно, чтобы их направления были сопряжены направлению касательных к этой кривой.

Применим полученные результаты к рассмотрению развертывающихся поверхностей.

Какую бы линию (отличную от образующей) мы ни брали на такой поверхности, огибающая семейства касательных плоскостей будет совпадать с самой поверхностью. Таким образом, в каждой точке развертывающейся поверхности любому направлению сопряжено направление ее прямолинейной образующей. Однако, если всякому направлению относительно кривой второго порядка сопряжено одно и то же

направление, то эта кривая принадлежит параболическому типу, Отсюда следует, что всякая развертывающаяся поверхность состоит из параболических точек, т. е. является поверхностью нулевой полной кривизны.

2. Сеть линий на поверхности называется сопряженной, если направления этой сети сопряжены в каждой точке их пересечения. Касательные векторы линий сети должны удовлетворять условию (2), и если одно семейство линий задано, то другое определяется из уравнения

Это уравнение теряет смысл только при

Но эта возможность имеет место только в области параболических точек, так как условие совместимости уравнений (4) имеет вид

Неопределенность решения объясняется в этом случае тем, что у параболической кривой второго порядка всякому направлению сопряжено ее единственное асимптотическое направление.

Таким образом, в области параболических точек семейство асимптотических линий (т. е. линий, касающихся асимптотического направления индикатрисы Дюпена) образует сопряженную сеть со всяким другим семейством.

3. Из (2) следует, что тензор, взаимный тензору сопряженной сети,

удовлетворяет условию

которое равносильно условию

и если сопряженная сеть принята за координатную (т. е. ), то

и вторая квадратичная форма имеет вид

Из (7) и (7) § 23 следует также, что

Итак, радиус-вектор точки поверхности, отнесенной к сопряженной сети, удовлетворяет уравнению Лапласа

4. Примером сопряженной сети, которая существует на всякой поверхности, может служить сеть Кёнигса (черт. 30), т. е. сеть, образованная линиями пересечения поверхности плоскостями некоторого пучка и линиями прикосновения поверхности к конусам с вершинами на оси того же пучка.

Эта сеть будет сопряженной, так как прямые, касающиеся линий семейства вдоль линии другого семейства, образуют развертывающиеся поверхности.

Черт. 30.

Основатель московской геометрической школы Карл Михайлович Петерсон (1828—1881) поставил вопрос о таком непрерывном изгибании поверхности, при котором некоторая сопряженная сеть этой поверхности остается сопряженной, назвав его изгибанием на главном основании.

Кроме Петерсона, в разработку этой проблемы существенный вклад был внесен Б. К. Млодзеевским, Д. Ф. Егоровым, С. П. Финиковым, С. С. Бюшгенсом, Н. Н. Лузиным и др,