§ 14. Касательная прямая и касательная плоскость поверхности
1. Прямая называется касательной к поверхности в данной ее точке 
если она касается в этой точке некоторой кривой, принадлежащей поверхности и проходящей через эту точку. Предположим, что поверхность задана параметрическим уравнением
а кривая — уравнением
которое мы будем называть внутренним.
Подстановка (2) в (1) приводит к обычному параметрическому уравнению данной линии
Касательный вектор этой линии, а следовательно, и направляющий вектор прямой, касающейся поверхности, получим обычным приемом, дифференцируя радиус-вектор 
по параметру 
Однако при этом мы примем во внимание, что в силу 
зависит от 
через посредство аргументов 
и получим
Правая часть этого выражения представляет собой линейную комбинацию двух векторов, для которых мы введем следующие обозначения
и которые будем называть координатными векторами поверхности, параметризованной с помощью криволинейных координат 
Легко видеть, что координатные векторы суть векторы касательных к координатным линиям. Действительно, одну из координатных линий можно задать параметрическим уравнением
Применяя к этому случаю общую формулу (4), получим
Аналогичным образом для координатной линии
имеем
Так как координаты производной вектора равны производным от его координат, то координатные векторы поверхности будут равны
а их векторное произведение
Вследствие того, что ранг матрицы (5) § 13 равен двум в неособой точке параметризации, всякая такая точка характеризуется условием
Таким образом, координатные векторы не могут обращаться в нуль или быть коллинеарными между собой в неособых точках параметризации.
Черт. 12
2 Возвращаясь к общему случаю формулы (4), мы видим, что касательный вектор любой кривой, проходящей через данную точку поверхности, компланарен двум координатным векторам, которые независимы между собой (черт. 12) Отсюда следует, что все прямые, касающиеся
поверхности в данной ее неособой точке, лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью поверхности.
Вектор
т. е. нормальный вектор касательной плоскости, называется нормальным вектором поверхности, а прямая, проходящая через данную точку поверхности по направлению этого вектора, - нормалью поверхности. Обозначая через 
радиус-вектор точки поверхности, а через 
радиус-вектор текущей точки, получим уравнение касательной плоскости в виде равенства нулю скалярного произведения
а уравнение нормали — в виде равенства нулю векторного произведения
или в параметрическом виде
