§ 66. Геодезические сети
Сопоставляя формулы (8) § 53, (7) и (8) § 63, мы получим следующие выражения для геодезических кривизн линий сети, касающихся единичных векторов 
если 
тензор сети, а 
-его норма:
В силу этого для такой сети, все линии которой геодезические, т. е. геодезической сети, оба корня х 
уравнения
должны быть также корнями уравнения
что возможно в том и только в том случае, если кубическая форма (3) делится на квадратичную форму (2). Если частное от этого деления есть линейная форма 
то
или
откуда вследствие (10) § 10
С другой стороны, для всякого тензора имеет место соотношение (1) § 64
Сложив три соотношения почленно
мы получим
где
Подставляя в выражение чебышевского вектора (9) § 63, получим
откуда
а вследствие (3) § 64
Таким образом, соотношение (5) принимает окончательный вид
и выражает условие того, что есть тензор геодезической сети.
Достаточность условия (5) можно показать следующим образом. Свертывая обе его части с любым из векторов сети, мы получим
аналогично этому
следовательно, сеть геодезическая.
