§ 10. Основные действия тензорной алгебры

1. Вводя понятие тензора, мы назвали его величиной. Но характерной особенностью различных величин действительных, комплексных и гиперкомплексных чисел, векторов и т. д. является то, что для них устанавливаются действия, аналогичные, в той или иной мере, действиям арифметики действительных чисел.

Аналогичные действия вводятся и для тензоров. Однако, прежде чем мы перейдем к описанию этих действий, установим понятие равенства двух тензоров.

Два тензора одинаковой валентности называются равными между собой, если значения линейных функций, соответствующих этим тензорам, равны для одинаковых значений их векторных аргументов.

Таким образом, для того чтобы тензоры и были равны, необходимо и достаточно, чтобщ для соответствующих им функций имело место равенство

которое является тождественным по отношению к векторным переменным е. справедливо для всех значений этих переменных.

В координатах то же равенство имеет вид

Но такое тождественное равенство двух полилинейных форм может иметь место только при условии равенства коэффициентов при соответствующих комбинациях переменных.

Таким образом, необходимым и достаточным условием равенства двух тензоров является равенство их соответствующих координат

В частности, тензор считается равным нулю, если соответствующая ему линейная функция тождественно равна нулю, а условие

очевидно, равносильно равенству нулю всех координат этого тензора.

2. Сложение тензоров. Рассмотрим два тензора, имеющих одинаковую валентность (например, валентность, равную трем), и и соответствующие им линейные функции Складывая значения этих функций при одинаковых значениях соответствующих переменных, получим третью функцию тех же переменных

Так как оба слагаемых правой части удовлетворяют условиям линейности (4), (5) § 9, то и левая часть удовлетворяет этим условиям, т. е.

и, следовательно, есть линейная функция своих аргументов. Но всякой такой функции по определению соответствует тензор и тензор, соответствующий функции называется суммой тензоров, соответствующих функциям Очевидно, что валентность суммы тензоров равна валентности слагаемых тензоров.

Подставляя в левую и правую части (2) масштабные векторы, мы получим

или

где координаты тензора соответствующего функции равны сумме тензоров

Итак, координаты суммы тензоров равны сумме соответствующих координат слагаемых тензоров.

3. Умножение тензора на число. Линейность функции влечет за собой линейность функции

где некоторое число, не зависящее от

В силу этого функции соответствует некоторый тензор, который называется произведением числа на тензор, соответствующий функции . Очевидно, что валентности обоих этих тензоров одинаковы.

Обозначая координаты этих тензоров через

мы будем иметь

Таким образом, координаты произведения тензора на число равны произведениям, соответствующих координат данного тензора на это число.

4. Умножение тензора на тензор. Рассмотрим два тензора, вообще говоря, различных валентностей и линейные функции, соответствующие этим тензорам. Составим произведение значений этих функций при независимых значениях их векторных аргументов. Это произведение будет функцией всех переменных, от которых зависит значение каждой из данных функций. Так, например, если даны тензоры то новая функция определяется произведением

где функция соответствует первому, второму тензору.

Но функция будет линейна относительно каждого из переменных следовательно, ей соответствует некоторый тензор, который и называется произведением двух данных тензоров.

Валентность этого тензора равна сумме валентностей перемножаемых тензоров.

Для координат тензора, равного произведению двух данных, мы будем иметь

или

Таким образом, координаты произведения двух тензоров равны произведениям координат перемножаемых тензоров, взятых при всевозможных значениях своих индексов.

Действие умножения позволяет получить из тензоров низших валентностей тензоры более высоких валентностей. Так, например, перемножая два вектора, мы получим тензор второй валентности

и умножая этот тензор на третий вектор, получим тензор третьей валентности

5. Симметрирование тензора. Тензор второй валентности называется симметричным при условии

которое равносильно условию

для функции, соответствующей этому тензору. Если тензор не симметричен, то ему можно отнести другой уже симметричный тензор, пользуясь следующим приемом, называемым симметрированием.

Если есть линейная функция, соответствующая тензору то функция

остается линейной, но удовлетворяет условию

Тензор, соответствующий этой функции, называется симметричной частью тензора и его координаты обозначаются через

Подставляя координатные векторы в левую и правую части (6), получим

Если тензор симметричен, то его симметричная часть совпадает с ним самим.

Процесс симметрирования обобщается и на случай тензоров любой валентности. Так, например, тензору третьей валентности относится тензор

В заключение докажем две теоремы, которые будут нам полезны впоследствии. Предположим, что для некоторого тензора имеет место равенство

выполняющееся тождественно для любого вектора

В развернутом виде это равенство имеет вид

Но для того, чтобы многочлен обращался в нуль тождественно, необходимо и достаточно, чтобы все его коэффициенты были равны нулю. Таким образом,

Однако легко видеть, что эти равенства равносильны обращению в нуль всех координат тензора Итак, для того чтобы равенство (9) выполнялось тождественно, необходимо и достаточно, чтобы симметричная часть тензора была равна нулю, т. е.

Еще проще убедиться в том, что и для. тензора второй валентности условие

равносильно условиям

Предположим, что квадратичная форма

с коэффициентами инвариантна, т. е. ее значение не меняется при преобразовании координат произвольного вектора . В таком случае инвариантны и выражение

а следовательно, и билинейная форма

Но в таком случае и есть линейная функция векторов и ей соответствует тензор с координатами Итак, коэффициенты инвариантной квадратичной формы являются координатами симметричного тензора.

6. Альтернирование тензора. Если тензор а — кососимметричен, т. е. тогда для соответствующей ему функции имеет место тождество

Если же тензор не является кососимметричным, то ему можно отнести другой кососимметричный тензор, рассматривая линейную функцию

Тензор, соответствующий этой функции, называется кососимметричной частью тензора его координаты обозначаются через а процесс перехода от тензора к тензору называется альтернированием. Легко видеть, что

Очевидно также, что кососимметричная часть кососимметричного тензора равна ему самому, а кососимметричная часть симметричного тензора равна нулю. Для всякого тензора второй валентности мы будем также иметь

7. Рассмотрим кососимметричную часть произведения двух векторов .

Равенство

сводится к единственному равенству

которое показывает, что векторы коллинеарны.

Таким образом, коллинеарность двух векторов характеризуется обращением в нуль кососимметрической части их произведения.

8. Перебрасывание индексов. Формула

дает выражение значения линейной функции, соответствующей тензору через его ковариантные координаты и контравариантные координаты векторных аргументов. Выражая последние через их

ковариантные кооординаты по формулам (10) § 7, будем иметь выражение

содержащее в правой части переменные которые являются ковариантными координатами векторных аргументов. Введем следующие обозначения для коэффициентов этого многочлена:

и будем называть их контравариантными координатами данного тензора.

Аналогичным образом вводятся смешанные координаты тензора, определяемые по формулам

Значение линейной функции может быть, таким образом, выражено через различные комбинации ковариантных и контравариантных координат векторов и тензоров

Операция перехода от каждого такого выражения к другому носит название перебрасывания индексов.

9. Поднимая индексы в (11) § 8, получим новое соотношение

и

10. При преобразовании координат точек и координаты тензора преобразуются. Чтобы найти закон этого преобразования, сравним выражения полилинейной функции через координаты векторов, относящиеся к различным системам:

Выразив новые координаты векторов через старые по формулам (10) § 6, получим тождество

которое равносильно соотношениям

выражающим закон преобразования ковариантных координат тензора.

Аналогичным образом выводятся формулы преобразования для контравариантных и смешанных координат тензора