§ 74. Инверсия

1. Линейное преобразование комплексного переменного

может быть представлено в виде

и определяет такое преобразование в плоскости этого переменного, которое сводится к ее повороту на угол а, подобному преобразованию с коэффициентом подобия и параллельному переносу на вектор, изображающийся комплексным числом

Общее дробно-линейное преобразование может быть представлено формулой

Отсюда следует, что общее круговое преобразование плоскости сводится к движению и к преобразованию, выражаемому формулой

где а — действительное число.

Произведем зеркальное отражение относительно действительной оси и рассмотрим преобразование

которое называется инверсией.

Окружность, выражаемая уравнением

называется кругом инверсии, а ее центр — центром инверсии. Поместив для простоты центр инверсии в начало координат, мы получим более простую формулу

из которой легко видеть, что точки соответствующие при инверсии, лежат на одной прямой, исходящей из центра инверсии, причем, если одна из них лежит внутри, то другая — вне круга инверсии, и их расстояния от центра связаны так, что

Точка, расположенная на круге инверсии, переходит в себя. Центр инверсии не имеет соответствующей точки, однако для общности говорят, что он переходит в бесконечно удаленную точку плоскости.

Всякую окружность можно задать уравнением

где действительные, комплексно сопряженные числа. Окружность вырождается в прямую при После замены

уравнение (3) примет вид

Таким образом, при инверсии окружность преобразуется в окружность, если она не проходит через центр инверсии, и в прямую, если она проходит через него, прямая же преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии.

Дифференцируя (1), получим

откуда

Мы получили соотношение между линейными элементами плоскости до и после инверсии

2. Действительную и мнимую части числа которое являются прямоугольными координатами точки можно рассматривать как криволинейные координаты для инвертированной точки Прямоугольные координаты последней выражаются через х и у по формулам

непосредственно следующим из (2).

Чтобы выяснить характер координатной сети, заметим, что линии которые до преобразования были прямыми, перейдут, вообще говоря, в окружности, проходящие через начало координат, и только прямые останутся прямыми и перейдут в себя. С другой стороны, из конформности преобразования следует, что окружности ортогональны прямой а окружности прямой Таким образом, координатная сеть состоит из двух семейств окружностей, касающихся в одной точке двух взаимно перпендикулярных направлений. Каждое из этих семейств называется параболическим пучком окружностей (черт. 47),

а пучки — сопряженными между собой. Сеть, образованную этими пучками, мы будем называть сетью окружностей первого рода.

Черт. 47.

Из (4) следует, что линейный элемент плоскости, отнесенной к криволинейным координатам которые мы будем называть круговыми координатами первого рода, имеет вид

3. Возвращаясь к общему случаю инверсии при и производя дополнительно параллельный сдвиг на вектор, соответствующий комплексному числу

мы получим преобразование, выражающееся формулой

При этом преобразовании начало, координат и бесконечно удаленная точка перейдут в точки с аффиксами

а пучок прямых, проходящих через начало координат, — в эллиптический пучок окружностей, т. е. в совокупность таких окружностей, которые проходят через эти точки.

Черт. 48.

Семейство окружностей с центром в начале координат перейдет при том же преобразовании в гиперболический пучок, сопряженный указанному эллиптическому, т. е. в совокупность окружностей, пересекающих под прямым углом все окружности данного эллиптического пучка. Сеть, образованную обоими этими пучками, мы будем называть сетью окружностей второго рода (черт. 48).

Для того чтобы использовать эту сеть в качестве координатной, выразим переменное в формуле (7) через полярные изотермические координаты положив

Если — прямоугольные координаты точки с аффиксом

то вследствие (7)

Так как

то при действительном значении

Кроме того,

следовательно, линейный элемент плоскости, отнесенной к этим криволинейным координатам, которые мы будем называть круговыми координатами второго родау имеет вид

или

Заметим, что линии образуют гиперболический, а линии - эллиптический пучок окружностей.