§ 8. Косое произведение и дополнительный вектор
1. Всякая плоскость делит пространство на два полупространства. Условимся считать одно из этих полупространств внешним по отношению к плоскости, другое же полупространство будем называть внутренним. В согласии с этим будем также называть внешней ту сторону плоскости, которая обращена во внешнее пространство, а внутренней — в другую сторону. Плоскость с определенной таким образом внешней и внутренней сторонами называют ориентированной.
Ориентацию плоскости удобнее всего указать, задав такой единичный вектор 
которому соответствует отрезок, перпендикулярный к плоскости и ориентированный так, что если его начало помещено на плоскости, то его конец находится во внешнем пространстве. Такой вектор мы будем называть ориентирующим вектором данной плоскости.
2. Будем называть косым произведением двух векторов ориентированной плоскости смешанное произведение этих векторов и ориентирующего вектора плоскости
Легко видеть также, что
где 
модули перемножаемых векторов, 
угол кратчайшего вращения, переводящего первый сомножитель во второй, причем этот угол считается положительным, если это вращение, рассматриваемое с внешней стороны плоскости, совершается против часовой стрелки, и отрицательным в противоположном случае.
Косое произведение равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы коллинеарны. Если же эти векторы независимы, то модуль косого произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.
Отметим, наконец, следующие очевидные свойства косого произведения:
Выражая перемножаемые векторы через их координаты, получим
или
где
Коэффициенты билинейной формы (5), выражающей косое произведение через координаты перемножаемых векторов, образуют матрицу
которую мы будем называть дискриминантной.
Эта матрица кососимметрична, так как
или
так что
где
Чтобы найти 
рассмотрим соотношение
откуда
В частности,
Таким образом,
Если векторы 
образуют правую тройку, то 
что мы и будем, как правило, предполагать в дальнейшем.
3. Повернув вектор а, расположенный в ориентированной плоскости, в положительном направлении на прямой угол, мы получим новый вектор, который обозначим а и будем называть дополнительным к вектору а. Дополнительный вектор а вектора а
Легко видеть, что
вследствие чего ковариантные - координаты дополнительного вектора
или
где 
есть элемент дискриминантной матрицы.
Умножая обе части (15) на 
и суммируя, мы получим
или
Кроме того,
так как скалярное произведение не изменяется от поворота обоих перемножаемых векторов на прямой угол.
