ГЛАВА XI. ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

§ 71. Общие свойства дифференцируемых соответствий

1. Если между точками двух поверхностей установлено взаимно однозначное и непрерывное соответствие, то каждой из двух соответствующих точек можно" отнести одинаковые значения криволинейных координат. Такая параметризация данных поверхностей называется общей по отношению к рассматриваемому соответствию.

Уравнения поверхностей, находящихся в общей параметризации, будут иметь вид

Мы будем считать, что отображение дифференцируемо, т. е. предполагать, что обе векторные функции дифференцируемы по своим скалярным аргументам.

2. Рассмотрим две соответствующие точки и две соответствующие кривые, исходящие из этих точек на обеих поверхностях. Обе эти кривые будут выражаться одним и тем же внутренним уравнением

Предел отношения длин соответствующих дуг

зависит только от направления касательной к кривой, исходящей из точки и носит название коэффициента искажения данного отображения.

Если откладывать от точки в ее касательной плоскости отрезок, равный обратной величине коэффициента искажения, т. е. строить вектор, имеющий в местной системе координаты

то геометрическое место концов этих векторов будет в силу (2) иметь уравнение

т.е. будет центральной кривой второго порядка, центр которой находится в точке Эта кривая совпадает с индикатрисой тензора Так как дискриминант этого тензора (4)

всегда положителен, то кривая эта будет эллипсом, который называется эллипсом искажений.

Главные направления эллипса искажений называются главными направлениями соответствия, а коэффициенты искажения, соответствующие этим направлениям, — главными коэффициентами. Очевидно, что в общем случае главные коэффициенты совпадают с минимальным и максимальным значениями коэффициента искажения в данной точке. Векторы главных направлений соответствия должны быть ортогональными и сопряженными относительно кривой (4), т. е. должны удовлетворять одновременно двум условиям:

Второе из этих условий показывает, что направления, соответствующие направлениям векторов ортогональны и на второй поверхности. Итак, главные направления соответствия — это такие ортогональные направления на первой поверхности, которым соответствуют ортогональные направления на второй поверхности.

Линии полей векторов главных направлений отображения образуют на обеих поверхностях ортогональные сети, соответствующие друг другу при данном отображении, которые называются сетями Тиссо.

Если данное отображение допускает существование двух пар ортогональных направлений которым будут соответствовать ортогональные направления и на второй поверхности, то индикатриса искажений будет иметь больше двух главных направлений и должна вырождаться в окружность. Но в таком случае ее уравнение должно иметь вид

вследствие чего

а это есть условие, характеризующее конформность отображения.

Таким образом, если в данной точке можно указать две такие пары взаимно ортогональных направлений, которым соответствуют тоже взаимно ортогональные направления на второй поверхности, то угол между любыми двумя направлениями, исходящими из данной точки на первой поверхности, сохраняется

при их отображении на вторую поверхность. Такая точка называется точкой конформности. Индикатриса искажений в точке конформности будет окружностью, всякое направление является главным, коэффициент искажения не зависит от направления, а метрические тензоры обеих поверхностей отличаются друг от друга только множителем.

3. Рассмотрим коэффициенты связности двух поверхностей, находящихся в соответствии и отнесенных к общей системе криволинейных координат, и образуем с помощью их выражения абсолютных дифференциалов некоторого вектора первой поверхности и соответствующего ему вектора второй поверхности. Эти выражения будут иметь вид

и так как каждое из них определяет вектор, то разность между ними будет тоже вектором

а при свертывании с произвольным вектором мы получим инвариант

Из инвариантности этого выражения следует, однако, что разности

являются координатами тензора. Таким образом, разности между соответствующими коэффициентами связности двух поверхностей, находящихся в общей параметризации, являются координатами некоторого тензора третьей валентности. Этот тензор называется тензором аффинной деформации, соответствующей данному отображению. По свойству коэффициентов связности очевидно, что

В силу (8) § 51 мы имеем, кроме того,

дискриминанты метрических тензоров отображаемых поверхностей.