§ 35. Каналовые поверхности

Качаловыми поверхностями называются огибающие однопараметрического семейства сфер.

Если уравнение этого семейства имеет вид

то его характеристика определится при его совместном рассмотрении с уравнением

Однако последнее уравнение выражает плоскость с нормальным вектором и таким образом, характеристики семейства будут кругами, расположенными в плоскостях, параллельных нормальным плоскостям линии, на которой расположены центры сфер семейства.

Так как каналовая поверхность касается сфер (1) вдоль характеристических кругов, то эти последние будут согласно теореме Иоахимсталя (п° 5 § 29) ее линиями кривизны.

Если радиус сфер семейства постоянен, то поверхность называется трубчатой. Из (2) следует, что характеристические круги трубчатой поверхности лежат в нормальных плоскостях линии центров сфер семейства и являются большими кругами сфер семейства. Но вследствие этого нормаль поверхности лежит в плоскостях характеристических кругов, и ортогональные траектории этих кругов являются вместе с тем и ортогональными траекториями этих плоскостей. Таким образом, трубчатая поверхность принадлежит к числу резных поверхностей.

Черт. 41.

Каналовые поверхности с прямолинейным местом центров сфер семейства состоят из кругов, расположенных в плоскостях, ортогональных этой линии, и, следовательно, вырождаются в поверхности вращения.

Особым случаем каналовых поверхностей являются такие поверхности, которые являются огибающими двух различных семейств кругов одновременно. Они называются циклидами. Оба семейства линий кривизны циклиды являются кругами. Примером циклиды может служить поверхность вращения круга вокруг оси, расположенной в его плоскости. Уравнение этой поверхности может быть представлено в следующем виде:

Если образующий круг поверхности не пересекает ось вращения т. е. если

поверхность называется тором (черт. 41).