§ 16. Развертывающиеся поверхности

Рассмотрим семейство плоскостей, определяемых уравнением

Обозначая дифференцирование по параметру а точкой, присоединим к уравнению семейства уравнение

Уравнения (1) и (2) при фиксированном значении а определят характеристику семейства, если она существует. Так как уравнение (2) есть уравнение плоскости, то характеристикой будет прямая пересечения плоскостей (1) и (2). Эта прямая существует, если нормальные векторы этих плоскостей не параллельны между собой. В противном случае векторы коллинеарны:

а это значит, что есть вектор неизменного направления, и все плоскости семейства параллельны между собой. Огибающей у такого семейства, очевидно, нет. Поэтому в дальнейшем мы исключаем из рассмотрения случай (3), предполагая, что направление нормального вектора плоскостей меняется вместе с параметром а.

Возвратившись к общему случаю, присоединим к уравнениям (1) и (2) уравнение

Системе уравнений

должен удовлетворять радиус-вектор характеристической точки семейства.

Так как эти уравнения линейны, то для их однозначной разрешимости относительно необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы был отличен от нуля. Но этот определитель имеет вид

где через обозначены координаты вектора являющиеся коэффициентами уравнения плоскости семейства.

Выражение А может быть, очевидно, переписано в виде смешанного произведения

Рассмотрим отдельно семейства, для которых и семейства, для которых

В первом случае система (5) разрешима относительно радиуса-вектора характеристической точки и определяет его в функции параметра

Если уравнение (5) определяет кривую, то это есть ребро возврата. Посмотрим, как связана плоскость семейства с этой кривой.

Так как характеристика, определяемая пересечением плоскостей и касается ребра возврата, то нормальные векторы этих плоскостей должны быть перпендикулярны к его касательному вектору, так что

Продифференцировав тождество (9), получим

или вследствие (10)

Таким образом, плоскость семейства, касаясь ребра возврата, содержит вектор второй производной и, следовательно, является соприкасающейся плоскостью этой линии.

Итак, если ребро возврата семейства плоскостей совпадает с некоторой пространственной кривой, то все характеристики семейства касаются этой кривой, а плоскости семейства являются ее соприкасающимися плоскостями.

При условии разрешимости системы (5) относительно радиуса-вектора характеристической точки может оказаться, что он не зависит от параметра. В таком случае уравнение (7) заменится уравнением

и не определит ребра возврата как кривой линии. Однако теперь можно сказать, что все характеристики семейства проходят через точку и огибающая образована движением прямой, проходящей через неподвижную точку, т. е. является конической поверхностью.

Итак, если все характеристики семейства плоскостей проходят через одну точку, то все плоскости семейства касаются конической поверхности, а характеристики совпадают с ее прямолинейными образующими.

Черт. 14.

Предположим, что . В таком случае вектор удовлетворяет дифференциальному уравнению

общее решение которого имеет вид

и, следовательно, остается параллельным постоянной плоскости, и сама плоскость семейства все время перпендикулярна к этой же плоскости. Так как характеристики семейства являются предельным положением прямой пересечения двух плоскостей семейства, то и они перпендикулярны к той же плоскости и, следовательно, параллельны между собой. Отсюда следует, что огибающая образована движением прямой постоянного направления и, следовательно, является цилиндрической поверхностью.

Итак, если характеристики семейства параллельны между собой, то огибающая этого семейства есть цилиндрическая поверхность.

По причинам, которые будут выяснены ниже, огибающие семейства плоскостей называются развертывающимися поверхностями.

Резюмируя результаты этого параграфа, мы можем сказать, что существует три типа развертывающихся поверхностей:

I. Поверхность, образованная касательными к пространственной кривой (поверхность касательных) (черт. 14).

II. Конические поверхности (черт. 15).

III. Цилиндрические поверхности (черт. 16).

К числу развертывающихся поверхностей следует причислить и плоскость, которая, очевидно, может рассматриваться и как поверхность касательных плоской кривой, и как коническая, и как цилиндрическая поверхность с прямолинейной направляющей.

Черт. 15.

Черт. 16.