ГЛАВА VI. ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ
§ 30. Поверхность вращения и ее изгибание
1. Поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг прямой, расположенной в ее Плоскости, называется поверхностью вращения. Эта прямая называется осью вращения поверхности. Сечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы — плоские кривые, конгруэнтные кривой, вращением которой образована данная поверхность. Линии пересечения поверхности плоскостями, ортогональными оси вращения, называются параллелями. Все параллели — окружности с центрами на оси вращения, расположенные в параллельных плоскостях.
Черт. 33.
Чтобы полупить уравнение поверхности вращения, допустим, что ось вращения совпадает с осью 
(черт. 33). Введем в подвижной плоскости систему координат с осью 
совпадающей с 
и осью 
к ней перпендикулярной. Координатный вектор оси 
совпадает с вектором 
оси 
а единичный вектор подвижной оси 
выразится как круговая функция 
угла, который он образует с осью 
Образующую кривую поверхности зададим параметрическим уравнением по отношению к осям 
так, что радиус-вектор ее точки 
будет
Уравнение (1) дает зависимость радиуса-вектора точки 
поверхности от Двух параметров и является искомым; параметрические
линии 
будут меридианами, а линии 
параллелями поверхности.
2. Чтобы вычислить линейный элемент поверхности вращения, найдем дифференциал радиуса-вектора
откуда
Отсутствие члена с произведением дифференциалов показывает, что координатная сеть, состоящая из меридианов и параллелей, ортогональна.
Выражение (2) принимает более простой вид, если за параметр вдоль меридиана принять длину его дуги 
В таком случае
и, следовательно,
Наконец, приведя линейный элемент к виду
и полагая
получим
Такой вид линейного элемента, когда он отличается от линейного элемента плоскости в прямоугольных координатах только множителем, называется изотермическим.
3. Покажем, что любую поверхность с линейным элементом вида
можно наложить на поверхность вращения, так что при этом линии 
наложатся на параллели. Для этого представим его в следующем виде:
и введем новый параметр
и обозначение
После этого линейный элемент (5) примет вид
и мы будем искать такую поверхность вращения, для которой он совпадает с линейным элементом вида (2). Очевидно, что этого можно добиться, положив
и искомая поверхность определится уравнением
с точностью до произвольного постоянного с, изменяя которое, можно осуществить ее непрерывное изгибание. Так как при этом изгибании сеть линий кривизны сохраняется, то она является изгибанием на главном основании (п° 5 § 27).
