§ 69. Сети равных путей

1. Определим положительное направление движения по линии сети и будем считать длину дуг ее линий, отложенных в этом направлении, положительной, а в обратном направлении — отрицательной. Возьмем две точки и соединим их некоторой ломаной, составленной из дуг линий сети. Сеть равных путей, или равнопутная сеть, характеризуется тем, что длина этой ломаной зависит только от положения точек а не от выбора дуг, составляющих этот путь, иначе говоря, криволинейный интеграл

взятый по этой ломаной, не зависит от пути. Условием этого, однако, является обращение подинтегрального выражения в полный дифференциал некоторой функции так, что при дифференцировании в направлении линий сети

а дифференциальное уравнение равнопутной сети имеет вид

и ее тензор

где градиент.

Если равнопутная сеть принята за координатную, то

и линейный элемент поверхности имеет вид

Чтобы вычислить чебышевский вектор равнопутной сети, найдем тензор, взаимный ее тензору. Согласно (27) § 11

а так как то

с другой стороны,

Подставляя полученные величины в (9) § 63, легко получим искомое выражение чебышевского вектора

Из очевидного равенства

следует, что есть вектор главного направления тензора а, т. е. что чебышевский вектор равнопутной сети направлен по биссектрисе ее направлений.

Можно показать, что это условие характеризует равнопутную сеть.

2. Чебышевская сеть является такой равнопутной сетью, у которой «потенциал путей» удовлетворяет уравнению в частных производных второго порядка

Зная удовлетворяющее этому уравнению, можно получить, тензор чебышевской сети по формуле (1). Отсюда следует, что на всякой поверхности можно найти бесконечное множество

чебышевских сетей с произволом в выборе двух функций одного аргумента.

3. На поверхности вращения равнопутной будет всякая сеть вращения, т. е. такая сеть, линии которой симметричны относительно меридиана, так как в силу симметрии самой поверхности и ее чебышевский вектор будет направлен по меридиану. В частности, и сеть асимптотических линий будет равнопутной.

Интересный частный случай такой сети был отмечен А. Комиссаруком. Потенциал ее пути где широта. Эта сеть будет чебышевской, так как есть гармоническая функция, а направление градиента переносится параллельно вдоль меридиана, вследствие чего

и уравнение (4) удовлетворяется.