§ 58. Поверхность Лиувилля

1. Поверхностью Лиувилля называется такая поверхность, которая допускает существование изотермической сети, образованной линиями двух биссекторно-геодезических полей. Такая сеть называется сетью Лиувилля.

Допустим, что эта сеть принята за координатную. В таком случае линейный элемент поверхности может быть представлен в виде (5)

§ 57, и, кроме того, параметры а и можно заменить так, что он же примет изотермический вид, так что

где

Делая замену и полагая последовательно или — мы получим

откуда

Введя обозначение

получим окончательный вид линейного элемента поверхности Лиувилля, координатная сеть которой совпадает с сетью Лиувилля

где — функции х и у соответственно.

2. Применим метод Якоби для нахождения геодезических линий поверхности Лиувилля. Для изотермических координат уравнение (3)

§ 55 принимает вид

а для поверхности с линейным элементом (1) —

и его полный интеграл естественно искать в виде

где функции соответственно только и только у. Подставляя в (3), получим

а вследствие независимости переменных это возможно только при условии

где

Интегрируя эти уравнения, получим окончательно

Дифференцируя по параметру с под знаками интегралов, получим искомое уравнение геодезических

Таким образом, для нахождения конечного уравнения геодезических линий поверхностей Лиувилля с линейным элементом (1) достаточно выполнить две квадратуры.

Возьмем полный дифференциал от левой Так как его правая часть постоянна, то

и после переноса второго члена в правую часть и возведения в квадрат мы будем иметь дифференциальное уравнение

которое определяет направление касательного вектора геодезических линий.

Так как линейный элемент (1) имеет изотермический вид, то поверхность отображается конформно на плоскость, точка которой имеет прямоугольные координаты Вследствие этого

где есть угол геодезической линии с координатными линиями или

Подставляя в (5), получим так называемый первый интеграл уравнения геодезических

Уравнение (7) удовлетворяется одновременно значением ±6, вследствие чего каждому значению с соответствуют два геодезических поля:

где и - единичные векторы сети Лиувилля. Отсюда ясно, что координатные векторы направлены по биссектрисам углов между векторами геодезических полей

Таким образом, сеть Лиувилля является биссекторной сетью для пар геодезических полей, направления которых определяются из (5).

3. Уравнение (5) может быть преобразовано к виду

или

В произвольной системе координат это соотношение имеет вид

где — тензор, координаты которого принимают значение

при переходе к системе

Соотношение (9) есть Дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого при любом значении с определяет геодезическую линию поверхности Лиувилля. Имея в виду это соотношение, говорят, что уравнение геодезических линий на поверхности Лиувилля имеет первый квадратичный интеграл.

4. Вводя обозначение

и принимая во внимание, что есть единичный вектор геодезического поля, мы будем иметь

Дифференцируя левую часть (9), мы получим вследствие этого

и, свертывая с

Так как это будет иметь место для любой геодезической линии поверхности Лиувилля, то вследствие (10) § 10

Ниже (§ 76) будет показано, что существование тензора удовлетворяющего уравнению (10), характеризует поверхности Лиувилля, где он определяет с помощью (9) квадратичный интеграл геодезических.