Главная > Теория поверхностей
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 58. Поверхность Лиувилля

1. Поверхностью Лиувилля называется такая поверхность, которая допускает существование изотермической сети, образованной линиями двух биссекторно-геодезических полей. Такая сеть называется сетью Лиувилля.

Допустим, что эта сеть принята за координатную. В таком случае линейный элемент поверхности может быть представлен в виде (5)

§ 57, и, кроме того, параметры а и можно заменить так, что он же примет изотермический вид, так что

где

Делая замену и полагая последовательно или — мы получим

откуда

Введя обозначение

получим окончательный вид линейного элемента поверхности Лиувилля, координатная сеть которой совпадает с сетью Лиувилля

где — функции х и у соответственно.

2. Применим метод Якоби для нахождения геодезических линий поверхности Лиувилля. Для изотермических координат уравнение (3)

§ 55 принимает вид

а для поверхности с линейным элементом (1) —

и его полный интеграл естественно искать в виде

где функции соответственно только и только у. Подставляя в (3), получим

а вследствие независимости переменных это возможно только при условии

где

Интегрируя эти уравнения, получим окончательно

Дифференцируя по параметру с под знаками интегралов, получим искомое уравнение геодезических

Таким образом, для нахождения конечного уравнения геодезических линий поверхностей Лиувилля с линейным элементом (1) достаточно выполнить две квадратуры.

Возьмем полный дифференциал от левой Так как его правая часть постоянна, то

и после переноса второго члена в правую часть и возведения в квадрат мы будем иметь дифференциальное уравнение

которое определяет направление касательного вектора геодезических линий.

Так как линейный элемент (1) имеет изотермический вид, то поверхность отображается конформно на плоскость, точка которой имеет прямоугольные координаты Вследствие этого

где есть угол геодезической линии с координатными линиями или

Подставляя в (5), получим так называемый первый интеграл уравнения геодезических

Уравнение (7) удовлетворяется одновременно значением ±6, вследствие чего каждому значению с соответствуют два геодезических поля:

где и - единичные векторы сети Лиувилля. Отсюда ясно, что координатные векторы направлены по биссектрисам углов между векторами геодезических полей

Таким образом, сеть Лиувилля является биссекторной сетью для пар геодезических полей, направления которых определяются из (5).

3. Уравнение (5) может быть преобразовано к виду

или

В произвольной системе координат это соотношение имеет вид

где — тензор, координаты которого принимают значение

при переходе к системе

Соотношение (9) есть Дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого при любом значении с определяет геодезическую линию поверхности Лиувилля. Имея в виду это соотношение, говорят, что уравнение геодезических линий на поверхности Лиувилля имеет первый квадратичный интеграл.

4. Вводя обозначение

и принимая во внимание, что есть единичный вектор геодезического поля, мы будем иметь

Дифференцируя левую часть (9), мы получим вследствие этого

и, свертывая с

Так как это будет иметь место для любой геодезической линии поверхности Лиувилля, то вследствие (10) § 10

Ниже (§ 76) будет показано, что существование тензора удовлетворяющего уравнению (10), характеризует поверхности Лиувилля, где он определяет с помощью (9) квадратичный интеграл геодезических.

1
Оглавление
email@scask.ru