§ 72. Конформное соответствие поверхностей

1. Из основного соотношения между ковариантными координатами метрических тензоров двух поверхностей, находящихся в конформном соответствии,

легко следуют следующие соотношения для контравариантных координат этих же тензоров, для дискриминантных тензоров и для контра- и ковариантных координат единичных векторов соответствующих направлений и их дополнительных векторов:

2. Рассмотрим тензор аффинной деформации, соответствующий конформному отображению.

Так как в силу (8) § 71

то вследствие (3)

Градиент

мы будем называть вектором конформного отображения. Если этот вектор равен нулю, то коэффициент растяжения постоянен, и поверхности становятся наложимыми после подобного преобразования одной из них. Этот случай конформного соответствия мы будем называть тривиальным.

Рассмотрим поля единичных векторов, направления которых соответствуют друг другу на конформных поверхностях и разность их соответственных трансверсальных векторов

Эта разность не зависит от выбора полей, так как при повороте их. векторов на один и тот же угол к их трансверсальным векторам прибавится градиент этого угла ((10) § 52).

Чтобы найти выражение тензора введем символы ковариантного дифференцирования на первой и второй поверхностях и рассмотрим соотношение

Но вектор есть единичный вектор первой поверхности, который выражается через единичный вектор второй поверхности по формуле (5), т. е. имеет на ней модуль Вследствие этого

откуда следует, что

и в силу произвольности вектора

Свертывая по индексам и принимая во внимание (7), получим

откуда следует окончательное выражение тензора аффинной деформации

и связь между трансверсальными векторами соответствующих полей

3. В силу (1) § 65 и (9) чебышевские векторы ортогональных сетей на поверхностях, конформных друг другу, связаны соотношением

С другой стороны, норма тензора преобразуется при том же конформном преобразовании по формуле

откуда следует, что комбинация

составленная для тензора ортогональной сети и его чебышевского вектора, не изменяется при конформном преобразовании. Отсюда и из (5) § 64 следует, в частности, что кодацциево нормирование тензора изотермической сети не нарушается при конформном преобразовании.

Но всякую изотермическую сеть можно отобразить конформно на декартову прямоугольную сеть плоскости и, например, задать в прямоугольных декартовых координатах уравнением

которому соответствует тензор с координатами удовлетворяющими уравнению Кодацци на плоскости. Отсюда вытекает, что в любой системе координат уравнение

определяет тензор изотермической сети, находящийся в кодацциевом нормировании, и этот тензор выражается через градиенты двух сопряженных гармонических функций следующим образом:

4. Найдем закон преобразования геодезической кривизны линии на поверхности при ее конформном отображении на другую поверхность.

Если эта линия пересекает линии поля под углом то согласно (6) § 53

Используя (9) и (1), согласно которому

получим

Отсюда следует, в частности, что геодезическая линия переходит в геодезическую при конформном отображении (1), если она является интегральной кривой уравнения

а для того, чтобы геодезическое поле переходило в геодезическое, вектор конформного отображения должен быть коллинеарен вектору этого поля

Но есть градиент а можно считать градиентом геодезического потенциала. Таким образом,

и следовательно, геодезическое поле остается геодезическим только при таком конформном преобразовании, коэффициент растяжения которого является функцией геодезического потенциала этого поля.

Всякая геодезическая линия остается геодезической только при тривиальном конформном преобразовании, так как оно характеризуется условием

5. Продифференцировав левую и правую части (12) по получим

Однако согласно (3) § 53

откуда

Это соотношение позволяет заключить, что линия постоянной геодезической кривизны переходит в такую же линию при конформном преобразовании, если она является интегральной кривой уравнения

Отсюда в свою очередь следует, что существование трех различных однопараметрических семейств таких линий возможно только при условии

и в таком случае все линии постоянной геодезической кривизны переходят в такие же линии, а для любой кривой имеет место соотношение