Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 72. Конформное соответствие поверхностей1. Из основного соотношения между ковариантными координатами метрических тензоров двух поверхностей, находящихся в конформном соответствии,
легко следуют следующие соотношения для контравариантных координат этих же тензоров, для дискриминантных тензоров и для контра- и ковариантных координат единичных векторов соответствующих направлений и их дополнительных векторов:
2. Рассмотрим тензор аффинной деформации, соответствующий конформному отображению. Так как в силу (8) § 71
то вследствие (3)
Градиент
мы будем называть вектором конформного отображения. Если этот вектор равен нулю, то коэффициент растяжения Рассмотрим поля
Эта разность не зависит от выбора полей, так как при повороте их. векторов на один и тот же угол к их трансверсальным векторам прибавится градиент этого угла ((10) § 52). Чтобы найти выражение тензора
Но вектор
откуда следует, что
и в силу произвольности вектора
Свертывая по индексам
откуда следует окончательное выражение тензора аффинной деформации
и связь между трансверсальными векторами соответствующих полей
3. В силу (1) § 65 и (9) чебышевские векторы ортогональных сетей на поверхностях, конформных друг другу, связаны соотношением
С другой стороны, норма тензора преобразуется при том же конформном преобразовании по формуле
откуда следует, что комбинация
составленная для тензора ортогональной сети и его чебышевского вектора, не изменяется при конформном преобразовании. Отсюда и из (5) § 64 следует, в частности, что кодацциево нормирование тензора изотермической сети не нарушается при конформном преобразовании. Но всякую изотермическую сеть можно отобразить конформно на декартову прямоугольную сеть плоскости и, например, задать в прямоугольных декартовых координатах уравнением
которому соответствует тензор с координатами
определяет тензор изотермической сети, находящийся в кодацциевом нормировании, и этот тензор выражается через градиенты
4. Найдем закон преобразования геодезической кривизны линии на поверхности при ее конформном отображении на другую поверхность. Если эта линия пересекает линии поля
Используя (9) и (1), согласно которому
получим
Отсюда следует, в частности, что геодезическая линия переходит в геодезическую при конформном отображении (1), если она является интегральной кривой уравнения
а для того, чтобы геодезическое поле
Но
и следовательно, геодезическое поле остается геодезическим только при таком конформном преобразовании, коэффициент растяжения которого является функцией геодезического потенциала этого поля. Всякая геодезическая линия остается геодезической только при тривиальном конформном преобразовании, так как оно характеризуется условием
5. Продифференцировав левую и правую части (12) по
Однако согласно (3) § 53
откуда
Это соотношение позволяет заключить, что линия постоянной геодезической кривизны переходит в такую же линию при конформном преобразовании, если она является интегральной кривой уравнения
Отсюда в свою очередь следует, что существование трех различных однопараметрических семейств таких линий возможно только при условии
и в таком случае все линии постоянной геодезической кривизны переходят в такие же линии, а для любой кривой имеет место соотношение
|
1 |
Оглавление
|