§ 86. Линейный элемент поверхностей постоянной кривизны и их наложимость

1. Если параметрические линии совпадают с линиями геодезического пучка и их ортогональными траекториями, то коэффициент линейного элемента

поверхности постоянной кривизны может быть определен из уравнения (5) § 84

которое легко интегрируется в случае постоянного К.

Как известно, его общее решение будет иметь следующий вид при различных значениях этого постоянного:

2. Потребуем, чтобы начальная ортогональная траектория пучка геодезических сама была геодезической. Для этого нужно найти такое значение постоянных в формулах (3), при которых для линии выполняются условия

Выберем, кроме того, параметр так, чтобы он совпадал с длиной дуги начальной траектории, что равносильно условию

Из этих условий следует для всех трех случаев

и мы приходим к линейным элементам вида:

Эти результаты показывают, что вид линейного элемента поверхности постоянной кривизны вполне определяется значением этой кривизны. Иными словами, если две поверхности имеют одинаковую постоянную кривизну, то их линейные элементы можно привести к одинаковому виду и, значит, они наложимы. С другой стороны, вследствие теоремы Гаусса совпадение полных кривизн является необходимым признаком наложимости. Таким образом, для того чтобы две поверхности постоянной гауссовой кривизны были наложимы, необходимо и достаточно, чтобы их кривизны совпадали.

Общая по отношению к наложимости система координат на двух поверхностях постоянной кривизны устанавливается так, что за линии на каждой из этих поверхностей берутся две произвольные геодезические линии.

Кроме того, начальные точки этих линий, например точки тоже выбираются совершенно произвольно. Отсюда следует, что две поверхности с одинаковыми постоянными кривизнами могут

быть наложены друг на друга бесчисленным множеством способов. Точнее говоря, соответствие можно установить так, что любые две точки и любые два исходящих из этих точек направления (например, направления геодезической будут соответствовать друг другу.

3. На полученный результат можно смотреть еще и с другой точки зрения. Рассмотрим на поверхности постоянной кривизны точку и некоторую ее окрестность. Отделив мысленно часть поверхности, состоящую из точек этой окрестности, мы можем ее изгибать и наложить на ту же самую поверхность, но так, чтобы при этом точка совпала с другой и притом вполне произвольной точкой поверхности. В частности, мы можем вернуть точку и на прежнее место, однако так, чтобы некоторое исходящее из нее направление заняло уже новое и совершенно произвольное направление.

Итак, всякую фигуру, расположенную на поверхности постоянной кривизны, можно, изгибая, перемещать по этой поверхности.

Так как при этом любую точку этой фигуры можно совместить со всякой другой точкой поверхности и всякое направление, исходящее из этой точки, совместить с любым другим направлением, то можно считать, что для фигуры возможно и поступательное и вращательное перемещение. Таким образом, перемещение фигуры по поверхности постоянной кривизны происходит со столькими же степенями свободы, как и перемещение фигуры по плоскости. Свободная подвижность фигур в указанном смысле возможна только для поверхностей постоянной кривизны. Действительно, если окрестность точки некоторой поверхности можно наложить на окрестность любой точки той же поверхности так, чтобы эти точки соответствовали, то в силу теоремы Гаусса кривизна в этих точках должна иметь одинаковое значение и, следовательно, не меняется от точки к точке.

Заметим, что вследствие постоянства кривизны плоскости, сферы и псевдосферы всякая поверхность нулевой, постоянной положительной, постоянной отрицательной кривизны наложима соответственно на плоскость, сферу или псевдосферу (той же самой полной кривизны).