§ 25. Тензор второй квадратичной формы и его инварианты

Легко видеть, что коэффициенты второй квадратичной формы являются координатами симметричного тензора второй валентности. Действительно,

и, кроме того, правая часть равенства

есть инвариант преобразования координат, следовательно, и вторая квадратичная форма

в которой переменные являются контравариантными координатами произвольного вектора, остается инвариантной при преобразованиях координат, а отсюда следует (п° 5 § 10), что есть тензор.

Будем называть сопряженными или главными направлениями поверхности направления, исходящие из данной точки и сопряженные или главные относительно этого тензора. Таким же образом мы будем называть асимптотическими направлениями поверхности нулевые направления тензора.

Вектор

является единичным касательным вектором поверхности и в силу (2)

Таким образом, значение полилинейной функции тензора соответствующее значению единичного вектора, равно нормальной кривизне, отвечающей направлению этого вектора.

Главные значения тензора для которых мы введем обозначения

равны

где орты главных направлений.

Таким образом, главные значения тензора второй квадратичной формы равны значениям нормальной кривизны, отвечающим главным направлениям поверхности. Будем называть эти значения главными кривизнами поверхности в данной ее точкек

Сумма и произведение главных кривизн

называются средней и полной кривизнами поверхности.

Так как средняя кривизна равна следу, а полная — норме тензора то они выражаются в любой системе координат по формулам (17) § 11:

Применяя формулу (9) § 11 и подставляя в ее левую часть два равных между собой единичных вектора, получим соотношение

которое позволяет выразить нормальную кривизну любого данного направления через главные кривизны и угол между первым из главных направлений и данным направлением. Формула (9) была впервые получена Эйлером.

Черт. 23.

Принимая во внимание способ получения индикатрисы тензора и геометрическое значение (4), мы видим, что индикатриса тензора второй квадратичной формы является геометрическим местом отрезков, отложенных от точки поверхности по направлениям, принадлежащим касательной плоскости, и равных по величине где есть радиус нормальной кривизны, соответстйующей этим направлениям. Эта индикатриса рассматривалась впервые Дюпеном (черт. 23).

Каноническое уравнение индикатрисы Дюпена имеет вид

причем знак при единице в правой части совпадает со знаком левой части, или, иначе говоря, правая часть положительна для точек радиус-вектор которых касается вогнутых сечений, и отрицательна, если эти сечения выпуклы.