§ 55. Геодезическое поле

1. Мы будем называть векторное поле геодезическим, если его векторные линии — геодезические.

Согласно (10) § 53 для единичного вектора геодезического поля

и следовательно, для того чтобы поле было геодезическим, необходимо и достаточно, чтобы его направляющий орт был градиентом.

2. Назовем геодезическим потенциалом потенциал единичного вектора геодезического поля и установим его геометрическое значение.

Заметим, прежде всего, что линии уровня геодезического потенциала совпадают с ортогональными траекториями поля.

Обозначая геодезический потенциал через а и дифференцируя его в направлении геодезических линий, мы получим

Интегрируя это уравнение при условии, что длина дуги каждой геодезической отсчитывается от начальной ортогональной траектории мы получим

Таким образом, геодезический потенциал равен длине дуги векторной геодезической линии этого поля, отсчитанной от точки ее пересечения с некоторой начальной ортогональной траекторией.

Указанную длину дуги называют также геодезическим расстоянием точки от начальной ортогональной траектории.

Так как для точек двух таких траекторий расположенных на одной геодезической, разность

то длина дуги геодезической линии поля, заключенной между двумя его ортогональными траекториями, постоянна для всех соответствующих точек этих траекторий.

Отсюда, в частности, вытекает отмеченное в п° 2 § 36 постоянство расстояний между двумя ортогональными траекториями прямолинейных образующих линейчатой поверхности.

Частным случаем этой же теоремы является и теорема о постоянстве расстояний между соответственными точками двух эволют данной кривой.

3. Геодезический потенциал удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка в частных производных

Предположим, что мы нашли полный интеграл этого уравнения, т. е. его решение, зависящее от одного произвольного постоянного

причем это постоянное входит в него не аддитивно, т. е. не в виде слагаемого при функции, зависящей только от

Подставляя в (3), продифференцируем левую и правую части частным образом по с, имея в виду, что коэффициенты не зависят от с.

Полученное соотношение

показывает, что линии уровня функций а и образуют ортогональную сеть.

Но линии есть ортогональные траектории геодезических полей, а следовательно, линии уровня функции т. е. линии, определяющиеся конечным уравнением

содержащим две произвольные постоянные будут геодезическими линиями. Это двупараметрическое семейство исчерпывает, вообще говоря, все геодезические линии поверхности.

В заключение рассмотрим произвольную функцию геодезического потенциала. Если их связь выражена уравнением а то откуда следует уравнение, характеризующее такую функцию:

4. Если вектор есть единичный вектор геодезического поля, направляющий потенциал дополнительного вектора так что

то метрический тензор поверхности

Тогда линейный элемент поверхности имеет вид

Таким образом, линейный элемент поверхности имеет вид (5), если координата а есть геодезический потенциал, а линии геодезические векторные линии поля.

5. Вид (5) линейного элемента позволяет установить экстремальное свойство геодезических линий.

Рассмотрим две точки расположенные на одной линии геодезического поля, и проведем через эти же точки произвольную линию, допустив, что она целиком находится в той области, в которой задано поле. В таком случае ее можно задать уравнением вида

а длина ее дуги выразится интегралом

где значения геодезического потенциала в точках соответственно.

Подинтегральная функция не может быть отрицательной и принимает наименьшее значение во всякой точке промежутка интегрирования при условии

т. е. при а это есть уравнение геодезической линии, соединяющей точки и

Итак, длина дуги геодезической линии, принадлежащей геодезическому полю, меньше длины дуги всякой другой линии, соединяющей ее концы и целиком находящейся в области заданного поля.

Следует заметить, что условия, позволяющие включить геодезическую линию, соединяющую две точки поверхности в геодезическое поле, весьма сложны. Они не выполняются, например, для дуги большого круга на сфере, если угловая мера этой дуги превышает от. Действительно, в этом случае всегда можно найти негеодезическую дугу, которая короче геодезической дуги. Но по доказанному это было бы невозможно, если бы эту геодезическую дугу можно было включить в геодезическое поле.

6. В заключение отметим, что в силу (9) § 53 трансверсальный вектор геодезического поля

т. е. ортогонален вектору поля и равен по абсолютной величине геодезической кривизне его ортогональных траекторий.