Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 76. Геодезическое соответствие1. Соответствие между точками двух поверхностей называется геодезическим, если всякой геодезической линии одной поверхности соответствует геодезическая линия другой. Рассмотрим уравнение геодезической линии
Если мы преобразуем это уравнение, перейдя от натурального параметра 5 к произвольному параметру
Если данная поверхность отображена геодезически на вторую поверхность и
Вводя обозначение тензора аффинной деформации
и вычитая почленно (2) и (3), мы получим
откуда следует уравнение
которое может быть также переписано в следующем виде:
Так как это уравнение должно выполняться для любой геодезической, а геодезическую можно провести по любому направлению то оно должно выполняться тождественно или согласно
Производя свертывание по индексам
где
Таким условиям должен удовлетворять тензор аффинной деформации при геодезическом отображении. Эти условия не только необходимы, но и достаточны, в чем нетрудно убедиться, подставив выражение
в уравнение (3), которое сохранит после этого форму уравнения геодезической линии. Вектор
где 2. Дифференцируя метрический тензор второй поверхности ковариантно с помощью коэффициентов связности первой поверхности, мы получим
и, заменяя
Чтобы выяснить, какие поверхности допускают нетривиальное геодезическое отображение, рассмотрим тензор
который вследствие (8) удовлетворяет уравнению
Выразим тензор
Подстановка этого выражения в (9) дает
где Положив
и произведя последовательно свертывание обеих частей (10) с произведениями
откуда
или окончательно
Трансверсальный вектор поля Так как направления
т. е. ортогональны на второй поверхности. Отсюда следует, что сеть Тиссо нетривиального геодезического отображения есть сеть Лиувилля. В силу (15) § 52 линейный элемент первой поверхности может быть представлен в виде
или
причем
или вследствие (11)
а это значит, что Вводя обозначения
будем иметь для линейного элемента первой поверхности
С другой стороны, опять-таки вследствие (11)
откуда
и линейный элемент второй поверхности
3. В заключение возвратимся к вопросу о квадратичном интеграле уравнения геодезических линий. В § 58 было показано, что его существование равносильно существованию такого тензора А, который удовлетворяет дифференциальному уравнению
Так как сеть с тензором
где
и
Таким образом, чебышевский вектор всякой геодезической сети, принадлежащий квадратичному интегралу геодезических линий, градиентен и эта сеть является кодацциевой. Обратно, если геодезическая сеть кодацциева, то ее тензор можно пронормировать так, чтобы имело место (18), но в таком случае будут выполнены и (16), Из (18) следует также, что тензор
где
и, сравнив с (8), мы видим, что поверхность с линейным элементом
отображена геодезически на данную поверхность, причем вектор этого отображения
Но только поверхности Лиувилля допускают нетривиальное геодезическое отображение и, таким образом, только поверхности Лиувилля допускают существование квадратичного интеграла геодезических. Приведенные рассуждения нуждаются в одном уточнении. Для того чтобы тензор некоторый тензор
при любом значении постоянного с. Но при
|
1 |
Оглавление
|