§ 76. Геодезическое соответствие

1. Соответствие между точками двух поверхностей называется геодезическим, если всякой геодезической линии одной поверхности соответствует геодезическая линия другой.

Рассмотрим уравнение геодезической линии

Если мы преобразуем это уравнение, перейдя от натурального параметра 5 к произвольному параметру то оно примет вид

Если данная поверхность отображена геодезически на вторую поверхность и коэффициенты связности последней в системе координат, общей по отношению отображения, то всякое решение уравнения (2) будет также решением уравнения

Вводя обозначение тензора аффинной деформации

и вычитая почленно (2) и (3), мы получим

откуда следует уравнение

которое может быть также переписано в следующем виде:

Так как это уравнение должно выполняться для любой геодезической, а геодезическую можно провести по любому направлению

то оно должно выполняться тождественно или согласно

Производя свертывание по индексам получим

где

Таким условиям должен удовлетворять тензор аффинной деформации при геодезическом отображении.

Эти условия не только необходимы, но и достаточны, в чем нетрудно убедиться, подставив выражение

в уравнение (3), которое сохранит после этого форму уравнения геодезической линии.

Вектор называется вектором геодезического отображения. Так как в силу (8) § 71

где дискриминанты метрических тензоров и отображаемых поверхностей, то вектор геодезического отображения есть градиент. При отображение называется тривиальным.

2. Дифференцируя метрический тензор второй поверхности ковариантно с помощью коэффициентов связности первой поверхности, мы получим

и, заменяя его выражением (5), мы будем иметь окончательно

Чтобы выяснить, какие поверхности допускают нетривиальное геодезическое отображение, рассмотрим тензор

который вследствие (8) удовлетворяет уравнению

Выразим тензор через его главные орты и характерные числа

Подстановка этого выражения в (9) дает

где есть трансверсальный вектор поля

Положив

и произведя последовательно свертывание обеих частей (10) с произведениями получим

откуда

или окончательно

Трансверсальный вектор поля оказался соленоидальным, и следовательно, это поле изотермическое (п° 4 § 52), но это поле является также биссекторным для геодезической сети а. Отсюда следует, что поверхность допускает существование изотермического геодезически-биссекторного поля и, следовательно, является поверхностью Лиувилля. Мы доказали, таким образом, теорему Дини: только поверхности Лиувилля могут допускать нетривиальное геодезическое отображение на другую поверхность.

Так как направления главные направления тензора в метрике, определенной тензором то они удовлетворяют условию

т. е. ортогональны на второй поверхности. Отсюда следует, что сеть Тиссо нетривиального геодезического отображения есть сеть Лиувилля.

В силу (15) § 52 линейный элемент первой поверхности может быть представлен в виде

или

причем

или вследствие (11)

а это значит, что есть функция только а о — функция только

Вводя обозначения

будем иметь для линейного элемента первой поверхности

С другой стороны, опять-таки вследствие (11)

откуда

и линейный элемент второй поверхности

3. В заключение возвратимся к вопросу о квадратичном интеграле уравнения геодезических линий. В § 58 было показано, что его существование равносильно существованию такого тензора А, который удовлетворяет дифференциальному уравнению

Так как сеть с тензором геодезическая, то согласно (4) § 66

где -норма тензора чебышевский вектор сети. Свертывая с тензором взаимным с получим

и

Таким образом, чебышевский вектор всякой геодезической сети, принадлежащий квадратичному интегралу геодезических линий, градиентен и эта сеть является кодацциевой.

Обратно, если геодезическая сеть кодацциева, то ее тензор можно пронормировать так, чтобы имело место (18), но в таком случае будут выполнены и (16), ним и (17), и сеть принадлежит квадратичному интегралу.

Из (18) следует также, что тензор

где потенциал градиентного вектора удовлетворяет уравнению

и, сравнив с (8), мы видим, что поверхность с линейным элементом

отображена геодезически на данную поверхность, причем вектор этого отображения

Но только поверхности Лиувилля допускают нетривиальное геодезическое отображение и, таким образом, только поверхности Лиувилля допускают существование квадратичного интеграла геодезических.

Приведенные рассуждения нуждаются в одном уточнении. Для того чтобы тензор мог быть метрическим тензором поверхности, необходимо и достаточно, чтобы его норма была положительна, чего мы не предполагали относительно тензора Однако, если

некоторый тензор удовлетворяет уравнению (16), то этому же уравнению удовлетворяет и тензор

при любом значении постоянного с.

Но при дискриминант тензора положительный, значит, в некоторой области, окружающей данную точку, этот дискриминант остается положительным и при достаточно малом с, отличном от нуля.