§ 82. Теорема Петерсона

1. В § 77 было показано, что тензор второй квадратичной формы удовлетворяет уравнению Кодацци, а в § 78 была доказана теорема Гаусса, согласно которой внутренняя кривизна поверхности равна ее полной кривизне.

Записав оба эти соотношения

мы видим, что три коэффициента второй квадратичной формы поверхности удовлетворяют трем соотношениям: двум дифференциальным уравнениям первого порядка Кодацци и одному алгебраическому уравнению Гаусса, которые могут быть построены, как только задана первая квадратичная форма поверхности.

К. М. Петерсон в 1852 г. первый доказал теорему о том, что две квадратичные формы, удовлетворяющие условиям (2) и условиям, равносильным (1), определяют с точностью до положения в пространстве такую поверхность, для которой они соответственно являются первой и второй квадратичными формами.

Чтобы доказать эту теорему, предположим, что заданы два симметричных тензора координаты которых определены как дифференцируемые функции) двух параметров причем во всей области их определения форма

является положительно определенной, вследствие чего выполняется неравенство

В таком случае можно построить тензор взаимный тензору определить операцию перебрасывания индексов, вычислить по формулам (8) § 48 символы Кристоффеля и производить ковариантное дифференцирование.

Рассмотрим теперь следующую систему дифференциальных уравнений с векторными неизвестными:

Очевидно, что уравнения построены по аналогии с (14) § 51, а уравнения по аналогии с (4) § 77.

Чтобы составить условия интегрируемости уравнения или нужно продифференцировать их левые и правые части по переменному и проальтернировать их по индексам потребовав выполнения условий

или равносильных им условий

Но (4) выполняется тождественно в силу уравнения и симметрии тензора в силу симметрии правой части соотношения

которая в свою очередь вытекает из симметрии тензора и условия (1).

Что касается уравнений то их можно заменить равносильными уравнениями

условия интегрируемости которых получатся после дифференцирования, альтернирования и учета соотношения

Однако это соотношение равносильно тождеству (3) § 81

применение которого позволяет пользоваться ковариантным дифференцированием вместо обыкновенного частного.

Дифференцируя и используя уравнение мы получим, таким образом, из уравнений уравнение

а свертывая с дискриминантным бивектором и принимая внимание (6), — соотношение

которое выполняется тождественно в силу (19) § 11 и условий (1), (2). Таким образом, система (3) вполне интегрируема и ее решение определяется заданием начальных значений искомых векторных функций соответствующих начальным значениям параметров

Мы должны показать, что существует такая интегральная поверхность

квадратичные формы которой совпадают с заданными квадратичными формами

Для этого достаточно выбрать начальные условия так, чтобы имели место равенства

где значения коэффициентов формы соответствующие начальным значениям параметров.

Дифференцируя ковариантно тензоры и принимая во внимание систему (3), получим систему дифференциальных уравнений первого порядка

которая, очевидно, удовлетворяется следующими значениями входящих в нее неизвестных

удовлетворяющими начальным условиям.

Имея в виду, единственность этих решений, мы приходим к заключению, что первая форма интегральной поверхности совпадает с

Кроме того, вектор есть единичный нормальный вектор поверхности а значит, ее вторая квадратичная форма имеет коэффициенты

т. е. совпадает с

Предположим теперь, что интегральная поверхность

соответствует другим начальным условиям, согласно которым в точке

Однако попрежнему

или, иначе говоря,

т. е.

а векторы соответственно перпендикулярны к векторам

Но в таком случае поверхность можно подвергнуть такому перемещению, после которого векторы совместятся с векторами и соответственно, и так как после этого перемещения обе поверхности станут интегральными поверхностями одной системы уравнений, соответствующими одной системе начальных условий, то они совпадут всеми своими точками.

Таким образом, теорема Петерсона доказана.

2. Виртуально-асимптотической называется такая сеть поверхности, которая после надлежащего изгибания последней становится асимптотической.

Из теоремы Петерсона вытекает, что сеть указанного вида характеризуется тем, что для ее тензора должны выполняться одновременно условия Кодацци и Гаусса.

Но оба эти условия равносильны условию (20) § 77

Действительно, сеть будет кодацциевой, так как ее чебышевский вектор градиентен. Но если ее тензор находится в кодацциевом нормировании, то его норма удовлетворяет условию (5) § 64, и выбором постоянного множителя у тензора сети можно добиться выполнения условия Гаусса. а