§ 96. Триортогональная система поверхностей

1. Если координатные поверхности различных семейств пересекаются в каждой точке пространства под прямым углом, то про эти поверхности говорят, что они образуют триортогональную систему.

Введем наряду с произвольными криволинейными координатами координаты соответствующие поверхностям некоторой триортогональной системы, и единичные векторы нормальные к поверхностям соответственно и образующие правую тройку.

Разложение производных этих векторов по ним самим дает систему уравнений

Так как векторы с коллинеарны градиентам функций то они должны удовлетворять условиям (16) § 95.

Но

где ковариантные координаты соответствующих векторов. Таким образом,

Принимая во внимание (16) § 95 и произведя круговую пере-, становку, получим три условия:

откуда следуют условия

которые показывают, что векторы принадлежат поверхностям соответственно.

При сравнении (1) с (17) § 52 мы видим, что векторы трансверсальные векторы направлений той ортогональной сети, по которой каждая из поверхностей пересекается с двумя другими поверхностями системы,

2. Рассмотрим сеть линий на поверхности и пусть векторы элементарных смещений вдоль этих линий. Так как Векторы а и касаются тех же линий, то

и из третьего уравнения (1) с помощью (3) мы получим

Сравнив с формулами Родрига (2) § 29, видим, что линии поверхности суть линии еекривизны.

Таким образом, мы приходим к теореме Дюпена: поверхности триортогональной системы пересекаются по линиям кривизны.

Из теоремы Дюпена следует, что два семейства взаимно орто- тональных поверхностей могут быть дополнены третьим семейством до триортогональной системы только тогда, когда они пересекаются по линиям кривизны. Покажем, что это условие не только необходимо, но и достаточно.

Пусть векторы а, 6, с образуют ортонормальную тройку, причем первые два соответственно нормальны поверхностям двух взаимно ортогональных семейств

В таком случае мы попрежнему будем иметь систему (1), и первые два условия (2) выполнены, так как векторы а и коллинеарны градиентам функций а и

Так как поверхности пересекаются по линиям кривизны, то в силу формул Родрига

и, следовательно,

но в таком случае и

и третье из условий (2) выполнено, а это значит, что

и с коллинеарен градиенту некоторой функции поверхности уровня которой дополняют поверхности «иидо триортогональной системы.

3. Конформным преобразованием пространства называется такое его точечное отображение на себя, при котором сохраняются углы между двумя любыми линиями, пересекающимися между собой. При конформном преобразовании пространства триортогональная система поверхностей, очевидно, остается триортогональной. Но всякую поверхность можно включить в триортогональную систему, дополнив ее семействами развертывающихся поверхностей конгруэнции ее нормалей и семействами параллельных ей поверхностей. Подвергнув эту систему конформному преобразованию, мы получим новую триортогональную систему, а поверхности, в которые перейдут развертывающиеся, в силу теоремы Дюпена снова будут пересекать по линиям кривизны ту поверхность, в которую перейдет данная. Таким

образом, при конформном преобразовании линии кривизны переходят в линии кривизны.

Отсюда следует, что при конформном преобразовании шар или плоскость может переходить только или в шар, или в плоскость, так как — это единственные поверхности, каждая линия которых является линией кривизны.