§ 2. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость

1. Прямая называется касательной к кривой в данной ее точке, если она является предельным положением секущей, проходящей через данную точку и другую точку кривой, неограниченно приближающуюся к данной.

Черт. 2.

Предположим, что кривая параметризована и ее уравнение имеет вид

Пусть точкам (черт. 2) этой кривой соответствуют значения параметра а их радиусы-векторы равны соответственно. В таком случае вектор соответствует хорде а вектор направлен по секущей в ту же сторону, как и эта хорда, если и в противоположную сторону, если

Если точка В неограниченно приближается по кривой к точке А, то секущая вращается вокруг точки А, стремясь занять

положение касательной. Вместе с тем отношение стремится к производной как к своему пределу.

Отсюда следует, что производная от радиуса-вектора точки параметризованной кривой по параметру есть вектор, направленный по касательной к этой кривой.

Если, кроме того, принять во внимание замечание, сделанное относительно направления вектора то станет очевидным, что вектор направлен по касательной в сторону возрастания параметра. Направление касательной не определяется с помощью задания вектора в тех точках параметризованной кривой, в которых этот вектор обращается в нуль. Такие точки называются особыми точками параметризованной кривой и исключаются из рассмотрения. Про всякую плоскость, содержащую касательную, говорят, что она касается кривой в той же точке, что и данная касательная прямая. 2. Если вектор второй производной

направлен по касательной в каждой точке линии, то ее радиус-вектор удовлетворяет дифференциальному уравнению

общее решение которого

показывает, что эта линия прямая. Исключим из рассмотрения этот случай, а также и те отдельные точки кривой, в которых имеет место (1).

При переходе к новому параметру мы будем иметь

Эта линейная зависимость показывает, что вторая производная от радиуса-вектора точки кривой, взятая по любому параметру, находится в некоторой вполне определенной касательной плоскости кривой, которая называется ее соприкасающейся плоскостью.

Расстояние текущей точки кривой от ее касательной плоскости в точке определяется подстановкой радиуса-вектора в левую часть нормального уравнения этой плоскости

где есть единичный вектор, перпендикулярный к данной касательной плоскости. Разлагая в строку Тейлора по степеням получим

но и если касательная плоскость — не соприкасающаяся, то и

а если касательная плоскость — соприкасающаяся, то и

При достаточно малом знак левой части совпадает со знаком первого отличного от нуля члена правой части. В первом случае он совпадает со знаком е. со знаком проекции вектора второй производной на нормаль к касательной плоскости. Таким образом, вблизи точки прикосновения все точки кривой находятся по ту сторону касательной плоскости, куда направлен вектор второй производной, если эта плоскость не совпадает с соприкасающейся. Во втором случае знак изменяется вместе с переменой знака если и вблизи точки прикосновения к соприкасающейся плоскости кривая, вообще говоря, переходит с одной ее стороны на другую.

Что касается такой линии, во всех точках которой вектор лежит в соприкасающейся плоскости, то ее радиус-вектор удовлетворяет дифференциальному уравнению

общее решение которого имеет вид

и показывает, что кривая будет плоской.