ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ

§ 1. Кривая линия и ее уравнение

1. Методы элементарной и аналитической геометрии с успехом применяются к рассмотрению только небольшого числа типов различных линий и поверхностей: прямой, окружности и конических сечений плоскости, сферы и поверхностей 2-го порядка. Поэтому при изложении этих математических дисциплин обычно обходятся без общего определения понятия линии и поверхности. Такое определение становится, однако, необходимым при переходе к топологии и дифференциальной геометрии потому, что топология изучает свойства кривых линий и поверхности во всей их общности, а дифференциальная геометрия рассматривает весьма обширный и важный класс кривых и поверхностей, содержащий бесконечное множество различных конкретных случаев.

Мы начнем с топологического определения кривой линии, предполагая, что понятие прямой линии и ее отрезка уже дано в элементарной геометрии.

Топологическим или непрерывным соответствием двух точечных множеств называется такое взаимно однозначное соответствие между точками этих множеств, при котором всяким двум бесконечно сближающимся точкам одного множества соответствуют бесконечно сближающиеся точки другого множества. Если между двумя точечными множествами можно установить топологическое соответствие, то говорят также, что эти множества топологически эквивалентны между собой.

Простой дугой называют такое множество точек, которое топологически эквивалентно отрезку прямой. Точки, соответствующие конечным точкам отрезка, называют при этом конечными точками дуги, а две дуги называют примыкающими, если одна пара концов этих дуг или обе пары этих концов совпадают между собойе

Кривой линией называют такое множество точек, которое состоит из конечного или счетного множества простых дуг, примыкающих друг к другу.

2. Допустим, что простая дуга отображена топологически на прямолинейный отрезок так, что всякой точке дуги соответствует точка этого отрезка (черт. 1),

Введем на прямой координату, т. е. выберем начальную точку О, некоторое положительное направление и будем измерять отрезки некоторым масштабным отрезком. Всякой точке прямой мы отнесем таким образом ее абсциссу, которую будем считать положительной для точек, расположенных по одну сторону от О, и отрицательной для точек, расположенных по другую сторону. Положение всякой точки отрезка будет определяться значением ее абсциссы а если известен закон, по которому точки дуги отображаются в точки отрезка, то задание абсциссы определит также и положение точки дуги. Этим способом мы можем отнести всякой точке дуги некоторое число. Соответствие между точками дуги и числами будет взаимно однозначным и непрерывным.

Черт. 1.

Непрерывность следует из того, что бесконечно близким абсциссам соответствуют бесконечно близкие точки отрезка а им в свою очередь отвечают бесконечно близкие точки дуги

Если указанное соответствие между числами и точками дуги осуществлено, то говорят, что дуга параметризована, а значение числа называют параметром соответствующей точки.

Всякую дугу можно топологически отобразить на отрезок бесчисленным множеством различных способов, и каждому из этих способов будет соответствовать свой способ параметризации дуги. Рассмотрим два таких способа, и пусть при первом из них точке относится значение параметра а при втором — значение Эти значения будут связаны между собой функциональной зависимостью

причем очевидно, что функция должна быть однозначна и непрерывна вместе со своей обратной функцией

Если в пространстве задано начало О, то всякая точка дуги определяется ее радиусом-вектором Если дуга

параметризована, то положение этой же точки определяется заданием значения параметра. При этом всякому значению параметра будет соответствовать определенное значение радиуса-вектора Иными словами: радиус-вектор точки дуги является функцией параметра, определяющего эту точку:

Согласно предыдущим определениям эта функция должна быть непрерывной. Соотношение, которое определяет зависимость радиуса-вектора точки параметризованной дуги от ее параметра, называется параметрическим уравнением этой дуги.

3. Дифференциальная геометрия изучает некоторый класс кривых, определенных вышеуказанным топологическим образом.

Эти кривые характеризуются возможностью такой параметризации, при которой радиус-вектор их точки выражается дифференцируемой функцией параметра. В дальнейшем мы всегда будем предполагать эту дифференцируемость, допуская только такие преобразования параметра, при которых функция тоже дифференцируема. Более того: мы будем предполагать у всех рассматриваемых функций существование всех производных до тех порядков включительно, которые потребуются для нашего рассмотрения.