ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 6. Аффинная система координат на плоскости
1. Общая декартова или аффинная система координат на плоскости определяется заданием точки — начала координат и двух независимых между собой векторов 
которые называются масштабными.
Всякий вектор а можно разложить по масштабным векторам системы, представив его в виде линейной комбинации
Коэффициенты разложения 
вектора а по масштабным векторам системы называются координатами этого вектора.
Разложение (1) можно записать также сокращенно
или еще короче
условившись подразумевать знак суммирования во всяком выражении, содержащем два одинаковых индекса, если один находится вверху, а другой внизу тех букв, при которых они поставлены. В дальнейшем мы без особых напоминаний будем пользоваться этим правилом для сокращенной записи сумм 1).
Одно из важнейших свойств координат вектора выражается следующей теоремой: для того чтобы векторы находились в линейной зависимости, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты находились в той же линейной зависимости.
Действительно, линейная зависимость векторов выражается равенством нулю некоторой их линейной комбинации
причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Выразив каждый вектор через его координаты, перепишем то же соотношение в следующем виде:
или, перегруппировывая члены,
Но масштабные векторы независимы, и последнее равенство может иметь место в том и только в том случае, если каждый из скалярных коэффициентов левой части равен нулю. Таким образом,
Проведя рассуждение в обратном порядке, мы докажем также и достаточность условия.
2. При преобразовании системы координат масштабные векторы новой системы 
могут быть выражены линейно через векторы старой системы 
так, что
Матрицу коэффициентов этого разложения
мы будем называть матрицей преобразования. Ее определитель
должен быть отличен от нуля, для того чтобы векторы 
были независимы между собой.
Разрешая уравнения (3) относительно векторов старой системы, мы получим соотношение вида
Матрица
есть матрица обратного преобразования. Ее элементы выражаются через элементы матрицы (4) следующим образом:
Таким образом, элементы матрицы обратного преобразования равны приведенным минорам матрицы прямого преобразования.
Легко видеть также, что элементы обеих матриц связаны между собой соотношением
где 
— символ Кронеккера, который равен нулю при 
и единице при 
Сравнивая выражения вектора в старой и новой системе координат, т. е. полагая
и заменяя новые координатные векторы по формулам (3), мы получим
Сравнивая коэффициенты при одинаковых векторах в правой и левой частях, мы получим формулы преобразования координат вектора
Аналогично этому получим формулы обратного преобразования
