§ 67. Чебышевская сеть

1. Сеть, образованная линиями двух векторных полей, называется чебышевской, если вектор каждого из этих полей переносится параллельно по линиям другого поля, или, иначе говоря, если линии каждого из этих полей совпадают с трансверсалями другого поля.

Таким образом, если единичные касательные векторы линий сети будут удовлетворять уравнениям вида (7) § 52

то сеть будет чебышевской при одновременном выполнении условий

Однако из (5) § 63 следует, что эти условия выполняются тогда и только тогда, когда

так что чебышевская сеть характеризуется обращением в нуль ее чебышевского вектора.

Отсюда вытекает, в частности, что чебышевская сеть принадлежит к числу кодацциевых.

2. Если чебышевская сеть принята за координатную, то вследствие (10) § 63, (9) § 48 и (3)

Но определитель вследствие чего

так что есть функция только функция только Однако этих условиях мы можем произвести такое преобразование параметров, после которого будем иметь

и линейный элемент поверхности, координатные линии которой образуют чебышевскую сеть, примет следующий вид:

Так как для параметрических линий

то параметры и и в выражении линейного элемента (7) совпадают с натуральными параметрами координатных линий. Отсюда следует, что длины дуг всех линий каждого семейства чебышевской сети, заключенные между двумя линиями другого семейства, равны между собой.

Это свойство также вполне характеризует чебышевскую сеть.

3. Если чебышевская сеть одновременно является и геодезической, то она изогональна, так как вектор, переносящийся параллельно вдоль геодезической линии, должен сохранять свой угол с касательным вектором последней, который тоже переносится параллельно. Но изогональная геодезическая сеть существует только на

поверхностях, наложимых на плоскость (§ 57), где она совпадает с сетью координатных линий декартовой системы координат, или, короче, декартовой сетью. Итак, чебышевская геодезическая сеть является декартовой сетью поверхности, наложимой на плоскость.