§ 83. Уравнение изгибания
Мы будем называть горизонтальной функцию точки поверхности, если ее значение равно расстоянию этой точки от некоторой неподвижной плоскости 
и считать это расстояние положительным, если точка расположена по одну сторону от этой плоскости, и отрицательным — по другую ее сторону.
При совмещении плоскости 
прямоугольной системы координат с плоскостью 
значение горизонтальной функции будет выра-. жаться координатой 
Но эта координата удовлетворяет уравнению (13) § 51
где
a k - единичный вектор оси Oz.
Рассмотрим следующее разложение:
Умножая скалярно на 
получим 
так что
а возводя левую и правую части в квадрат, будем иметь
откуда
Таким образом, тензор второй квадратичной формы поверхности выражается через горизонтальную функцию следующим образом:
Применив уравнение Гаусса (2) § 82, мы получим уравнение в частных производных второго порядка типа Монжа — Ампера, которому удовлетворяет всякая горизонтальная функция
Правая часть этого уравнения есть гауссова кривизна поверхности, вследствие чего его коэффициенты и свободный член полностью выражаются через координаты метрического тензора поверхности и их производные.
Предположим теперь, что задана квадратичная дифференциальная форма
коэффициенты которой являются дважды дифференцируемыми функциями переменных 
в некоторой области их изменения, причем эта форма является положительно определенной во всей этой области. Спрашивается: существует ли такая поверхность, линейный элемент которой выражается этой формой, и если да, то с каким произволом определяется такая поверхность?
Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся определить вторую квадратичную форму искомой поверхности. Если мы сумеем определить эту форму так, чтобы ее коэффициенты удовлетворяли уравнениям Гаусса и Кодацци, то согласно теореме Петерсона определяется и поверхность, основные квадратичные формы которой будут совпадать с 
На этой поверхности определяются также и горизонтальные функции. Имея это в виду, мы можем свести задачу определения величин 
к разысканию такой функции 
через которую они выражаются по формуле (1).
Для того чтобы выполнялось условие Гаусса, мы должны предположить, что 
есть решение уравнения (2). Кроме того, мы должны еще потребовать выполнения условий Кодацци. Но из (1) следует
Однако согласно (19) § 11
где К есть норма тензора которая совпадает с внутренней кривизной, так как условие Гаусса уже выполнено, а в силу (3) § 81
Подставляя оба выражения, получаем
и видим, что уравнение Кодацци удовлетворяется тождественно.
Таким образом, коэффициенты квадратичной формы, удовлетворяющей условиям Гаусса и Кодацци, можно получить, подставив в правую часть (1) любое решение уравнения (2). Но это решение определяется через две произвольные функции одного аргумента и, следовательно, всякая положительно определенная квадратичная дифференциальная форма с дважды дифференцируемыми коэффициентами совпадает с линейным элементом некоторой поверхности, которая определяется с произволом в выборе двух функций одного аргумента 1).
Очевидно, что такой же произвол имеет место и при определении всех поверхностей, наложимых на данную.
Уравнение (1) называется уравнением изгибания и было впервые получено Бианки.
