§ 50. Абсолютное и ковариантное дифференцирование

1. Понятие параллельного перенесения может быть положено в основу построения особого исчисления, которое было названо его создателем Г. Риччи абсолютным дифференциальным исчислением, а в настоящее время чаще называется тензорным анализом.

Основным понятием этого исчисления является абсолютный дифференциал тензора.

Рассмотрим тензор, принадлежащий поверхности, в точках некоторой кривой и соответствующую полилинейную функцию векторных аргументов

Будем дифференцировать значение этой функции, предполагая, что векторы переносятся параллельно вдоль данной кривой. В выражении

дифференциалы векторных аргументов можно заменить из условий их параллельного перенесения (7) § 49, согласно которым

и после соответствующей замены индексов суммирования получим

Но величина как дифференциал инварианта есть тоже инвариант, который является в силу строения правой части последнего равенства полилинейной функцией векторных аргументов Отсюда следует, что выражения в скобках, для которых вводятся обозначения

будут координатами тензора. Этот тензор и называется абсолютным дифференциалом данного тензора.

Таким образом, если значения полилинейной функции, соответствующие некоторому тензору, дифференцируются в предположении, что векторные аргументы переносятся параллельно, то дифференциал данной функции оказывается новой полилинейной функцией тех же аргументов; тензор, соответствующий этой функции, и называется абсолютным дифференциалом данного тензора.

2. Рассмотрим некоторые важные частные случаи. Так как скалярное произведение двух векторов

сохраняется при их параллельном перенесении, то

Отсюда непосредственно следует, что абсолютный дифференциал метрического тензора равен нулю при дифференцировании в любом направлении или

Таким же образом из сохранения косого произведения при параллельном перенесении сомножителей следует, что абсолютный дифференциал дискриминантного тензора равен нулю при дифференцировании в любом направлении или

Будем рассматривать скалярное произведение

как линейную функцию векторного переменного Если вектор а переносится параллельно, то при условии параллельного перенесения мы снова будем иметь

отсюда следует, что

и, таким образом, условием параллельного перенесения вектора является обращение в нуль его абсолютного дифференциала.

3. Формула (2) дает выражение абсолютного дифференциала тензора через его ковариантные координаты, однако нетрудно получить его выражение через смешанные или контравариантные координаты.

Для этого будем, например, дифференцировать выражение

в предположении, что векторные аргументы переносятся параллельно, пользуясь при этом попрежнему условием (7) § 49 для векторов и условием (5) для вектора Произведя соответствующую подстановку, мы получим

или аналогично этому

В частности, абсолютный дифференциал вектора, выраженный через его контравариантные координаты:

а внутренний дифференциал вектора

Приравнивая нулю, мы возвращаемся к условию (7) § 49 — параллельного перенесения вектора.

4. Абсолютное дифференцирование во многом аналогично обычному. Так, например, рассмотрим две полилинейные векторные функции одних и тех же аргументов

и будем дифференцировать их сумму

в предположении, что векторные аргументы переносятся параллельно. Но в таком случае

С другой стороны,

откуда следует, что абсолютный дифференциал суммы двух тензоров равен сумме абсолютных дифференциалов слагаемых или

Рассмотрим произведение скаляра к и полилинейной функции

Дифференцируя произведение

и снова предполагая, что векторные аргументы переносятся параллельно, получим

откуда следует права дифференцирования произведения тензора на скалярную функцию

Рассмотрим произведение двух полилинейных функций

независимых между собой переменных.

Из соотношения

полученного снова при условии параллельного переноса векторных аргументов, следует правило дифференцирования произведения двух тензоров

Последнее правило, которое мы выведем, касается действия свертывания. Из соотношения

записанного в предположении, что вектор единичный и переносится параллельно вместе с вектором следует, что и

так как вектор у, полученный поворотом вектора у на прямой угол, тоже переносится параллельно.

Складывая оба равенства, мы получим

но

и мы имеем

откуда следует соотношение

Но слева дифференцируется тензор который получен в результате свертывания тензора по двум его последним индексам, а справа свертывается по двум соответствующим индексам тензор, полученный в результате абсолютного дифференцирования тензора

Таким образом, соотношение (13) показывает, что действия свертывания и абсолютного дифференцирования перестановочны между собой, и позволяет записать их результат в единой форме —

Если считать, что ковариантный дифференциал скаляра совпадает с его обыкновенным дифференциалом, то правило остается в силе и для выражений, полученных в результате полного свертывания.

Так, например, выражение

можно рассматривать как дифференциал скаляра и как результат свертывания тензора