ГЛАВА XIV. МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

§ 90. Поверхность наименьшей площади

Рассмотрим некоторый замкнутый контур и простой кусок поверхности ограниченной этим контуром.

Будем варьировать эту поверхность, т. е. смещать каждую ее точку по нормали, сохраняя условие прохождения через контур

Радиусы-векторы точек данной и проварьированной поверхности будут связаны соотношением

где k — функция криволинейных координат на поверхности, обращающаяся в нуль на

Дифференцируя по общим криволинейным координатам, получим

откуда

где тензоры основных форм исходной, основной метрический тензор проварьированной поверхности.

Полагая где бесконечно малая величина, получим для отношения дискриминантов основных форм обеих поверхностей

или, извлекая корень по формуле Тейлора,

Интегрируя по области, ограниченной контуром получим следующее соотношение между площадями обеих поверхностей:

Для того чтобы исходная поверхность имела наименьшую площадь по сравнению с проварьированными, необходимо, чтобы

приращение площади имело знак, не зависящий от знака а это возможно только при условии

причем это равенство должно иметь место при любом выборе функции Отсюда следует, что средняя кривизна исходной поверхности

Действительно, если в некоторой точке области то в силу непрерывности это неравенство сохраняется и в некоторой окрестности этой точки. Выбирая так, чтобы в этой окрестности выполнялось неравенство

а вне ее мы получим нарушение условия (1).

Имея в виду рассмотренную задачу, поверхности нулевой средней кривизны называют минимальными.

Из (2) непосредственно следует, что минимальные поверхности характеризуются ортогональностью своей асимптотической сети. Очевидно также, что индикатриса Дюпена в каждой неособой точке минимальной поверхности является равносторонней гиперболой и, следовательно, ее полная кривизна отрицательна.