§ 40. Асимптотические линии линейчатой поверхности

1. Введем следующие обозначения для выражения нормального вектора линейчатой поверхности:

Умножая скалярно

на

и принимая во внимание, что

получим для второй квадратичной формы поверхности

где зависят только от и.

Приравнивая нулю, мы получим, кроме семейства прямолинейных образующих которые, очевидно, являются асимптотическими, дифференциальное уравнение второго семейства асимптотических линий

Это есть обыкновенное уравнение типа Риккати. Известно, что всякая четверка его решений удовлетворяет условию

Но величины есть абсциссы точек, в которой асимптотические линии второго семейства пересекают прямолинейную образующую, и мы приходим к следующему результату: ангармоническое отношение точек, в которых четыре асимптотические линии линейчатой поверхности пересекают ее образующие, постоянно для всех этих образующих.

2. В числе асимптотических линий второго семейства линейчатой поверхности могут содержаться прямые линии. В зависимости от числа этих прямых линий мы будем говорить о линейчатых поверхностях с одной, двумя или большим числом прямолинейных направляющих. Так, например, косой геликоид, рассмотренный нами в § 33, имеет одну прямолинейную направляющую, которая совпадает с осью вращения.

С проективной точки зрения прямолинейную направляющую имеют и так называемые поверхности Каталана, т. е. такие линейчатые поверхности, все образующие которых параллельны одной направляющей плоскости. Прямолинейная направляющая совпадает в этом случае с несобственной прямой этой плоскости.

Поверхность Каталана называется коноидом, если она имеет еще вторую прямолинейную направляющую, а если эта прямая перпендикулярна к направляющей плоскости поверхности, то коноид называется прямым. Легко видеть, что для прямого коноида эта направляющая является стрикционной линией.

Черт. 43.

Примером прямого коноида может служить прямой геликоид.

3. Предположим, что линейчатая поверхность имеет три прямолинейные направляющие с (черт. 43), не лежащие в одной плоскости, и рассмотрим два пучка плоскостей с осью а и с осью Любые две плоскости а пучка и пучка пересекающиеся по прямолинейной образующей поверхности, встречаются в некоторой точке С направляющей с.

Отсюда следует, что, считая соответственными те плоскости пучков и которые пересе каются по прямолинейной образующей поверхности, мы установим проективное соответствие между плоскостями этих пучков.

Однако известо, что геометрическое место прямых пересечения соответствующих плоскостей двух проективных пучков есть линейчатая поверхность второго порядка. Таким образом, линейчатая поверхность с тремя направляющими есть линейчатая поверхность второго порядка, и эти направляющие входят во вторую систему ее прямолинейных образующих.