§ 73. Конформное соответствие плоскостей
Рассмотрим две плоскости, находящиеся в конформном соответствии. Если их линейные элементы связаны, как и в общем случае, 
отношением
то формула (10) § 72
связывает трансверсальные векторы соответствующих полей. Но эти векторы градиентны (§ 52), а следовательно, и вектор 
—градиент,
а это значит, что функция 
градиент которой равен 
гармоническая.
Итак, при конформном отображении плоскости на плоскость логарифм коэффициента растяжения является гармонической функцией точки.
Задавая конформные отображения с помощью аналитической функции
т. е. считая 
прямоугольными координатами соответствующих точек обеих плоскостей, и сравнивая (1) с (12) § 47, мы будем иметь
откуда
где 
есть аргумент производной и является гармонической функцией, сопряженной с функцией 
Будем дифференцировать функцию имея в виду, что она и все ее производные — аналитические функции 
Согласно (11) § 47
Далее мы предположим для общности, что плоскости отнесены к общим криволинейным координатам 
Согласно (15) § 51 х и у удовлетворяют дифференциальным уравнениям
Принимая это во внимание, мы будем иметь
С другой стороны, вектор 
будет дополнительным к вектору 
и мы можем применить к выражению
те же рассуждения, которые применили к выражению 
в § 47.
Проведя эти рассуждения, мы получим
откуда окончательно
Производной Шварца аналитической функции 
называется выражение
или, как легко видеть, положив 
в наших обозначениях
но вследствие (4) и (5)
Сравнив с (15) § 72, мы видим, что при конформном отображении плоскости на плоскость квадратичная форма
совпадает с мнимой частью производной Шварца, отображающей функции, что же касается ее действительной части, то, как легко видеть, она совпадает с квадратичной формой
Конформное соответствие между двумя плоскостями называется круговым, если оно отображает всякий круг на круг или прямую. Так как при этом конформном соответствии линии постоянной кривизны переходят в такие же линии, то согласно § 72 оно характеризуется обращением в нуль тензора 
а следовательно, и производной Шварца.
Общее решение дифференциального уравнения
известно. Оно имеет вид
и, таким образом, отображающая функция кругового соответствия есть общая дробно-линейная функция своего аргумента.
Из (16) § 72 следует, что при круговом преобразовании
где 
кривизны плоских линий, 
и 5 — длины их дуги, и так называемый параметр Либмана, который определяется для плоской кривой интегралом
инвариантен при круговом преобразовании.
