§ 88. Внутренняя геометрия псевдосферы

1. Внутренняя геометрия псевдосферы допускает аксиоматическое построение, подобное аксиоматическому построению планиметрии При этом большинство аксиом последней оказывается справедливым и для геометрии псевдосферы при условии замены понятия прямой понятием геодезической линии и понятия движения понятием наложения на себя.

Так, например, аксиома соединения (через две различные точки проходит одна и только одна прямая) выполняется для геодезических линий псевдосферы, в чем можно убедиться, рассматривая то конформное отображение псевдосферы на плоскость, при котором геодезическая линия переходит в полуокружность с центром на оси

Легко видеть также, что в геометрии псевдосферы выполняются все аксиомы порядка и непрерывности и движения.

Так, например, если понимать под движением изгибание поверхности с наложением на себя, то (см. § 86) оказывается справедливой аксиома, согласно которой существует одно и только одно

движение, совмещающее точку и направление, исходящее из этой точки, с произвольно заданной точкой и направлением.

Таким образом, можно показать, что все аксиомы абсолютной планиметрии, т. е. все аксиомы, кроме аксиомы о параллельности, выполняются во внутренней геометрии псевдосферы.

Что касается аксиомы о параллельности, то, как известно, она равносильна теореме о сумме углов треугольника, которая в обыкновенной планиметрии равна двум прямым.

Иначе обстоит дело на псевдосфере. Согласно (3) § 79 дефект геодезического треугольника на псевдосфере

где внешние углы этого треугольника, — его площадь, а К—полная кривизна.

Черт. 64.

Заменяя внешние углы через внутренние, с которыми они связаны соотношением (черт. 64)

мы получим

Таким образом, дефект геодезического треугольника на псевдосфере положителен и пропорционален его площади, или, иначе говоря, сумма внутренних углов этого треугольника меньше двух прямых.

Однако последнее положение наряду с аксиомами абсолютной геометрии характеризует геометрию Лобачевского, и таким образом, внутренняя геометрия псевдосферы совпадает с геометрией Лобачевского.

Этот замечательный факт был открыт в 1868 г. итальянским геометром Э. Бельтрами, который пришел к нему, сопоставив формулы тригонометрии Лобачевского с формулами для геодезического треугольника на поверхности постоянной отрицательной кривизны, полученными Ф. Миндингом еще в 1840 г.

2. В геометрии Лобачевского рассматриваются три пучков прямых.

I. Сходящимся пучком называется совокупность прямых, прохо дящих через одну точку (центр пучка). Ортогональными траекториями такого пучка являются окружности с центром в центре пучка.

II. Расходящимся пучком называется совокупность прямых, перпендикулярных к одной прямой (базе пучка).

Ортогональные траектории расходящегося пучка называются гиперциклами.

III. Параллельным пучком называется совокупность прямых, параллельных одному и тому же направлению.

Ортогональные траектории параллельного пучка называются орициклами.

В зависимости от вида ортогональных траекторий пучки можно называть также циклическими, гиперциклическими и орициклическими.

При конформном отображении (6) § 87 псевдосферы на плоскость пучки геодезических линий изображаются пучками окружностей, ортогональных оси

Расходящийся, сходящийся и параллельный пучки изображаются соответственно гиперболическим, эллиптическим и параболическим пучками окружностей и отвечают геодезическим пучкам первого, второго и третьего рода на псевдосфере.

Вследствие этого гиперциклы, окружности и орициклы изображаются окружностями, которые соответственно пересекают, не пересекают или касаются оси и отвечают кривым постоянной геодезической кривизны на псевдосфере, у которых соответственно эта кривизна меньше, больше или равна