§ 98. Софокусные поверхности второго порядка

1. Системой софокусных поверхностей второго порядка называется семейство, определяемое уравнением

Чтобы найти поверхность семейства, проходящую через точку с координатами нужно решить уравнение третьей степени

Но это уравнение имеет три действительных корня, если так как и эти корни принадлежат следующим промежуткам:

Таким образом, через каждую точку пространства проходят три поверхности семейства, причем легко видеть, что одна из них будет

однополостным, другая двуполостным гиперболоидом, а третья эллипсоидом (черт. 66).

Полагая в тождестве

получим выражения

которые относят всякой тройке значений восемь точек, расположенных симметрично относительно координатных плоскостей.

Черт. 66.

Если рассматривать один координатный квадрант, то соответствие между значениями переменных и точками пространства будет взаимно однозначным, и эти переменные можно принять за криволинейные координаты, которые называются эллиптическими. Координатные поверхности эллиптических координат, очевидно, совпадают с поверхностями семейства (1).

2. Рассмотрим конгруэнцию общих касательных двух софокусных поверхностей:

и пусть фокусы луча этой конгруэнции, расположенные соответственно на первой и второй поверхностях. Каждая из этих точек должна быть расположена на поляре другой относительно поверхности, содержащей последнюю, вследствие чего

Вычитая и сокращая на получим

Но .векторы с координатами

— нормальные векторы поверхностей, соответствующие фокусам луча, т. е. нормальные векторы фокальных плоскостей рассматриваемой конгруэнции, и в силу (5) эти плоскости взаимно ортогональны.

Таким образом (п° 2 § 60), мы приходим к следующей теореме Шаля: конгруэнция общих касательных к двум софокусным поверхностям второго порядка — нормальная.

Ортогональность касательных плоскостей имеет место и в том случае, когда точки совпадают с общей точкой двух конфокальных поверхностей. Отсюда следует, что всякие две софокусные поверхности пересекаются под прямым углом, а так как через каждую точку пространства проходят три такие поверхности, то они образуют триортогональную систему.

3. Подсчитаем линейный элемент пространства в эллиптических координатах.

Дифференцируя (3) логарифмически, получим для координатных векторов

С другой стороны, из (2) и (3) следует тождество

Дифференцируя обе его части по X и делая подстановку получим

откуда находится выражение коэффициента линейного элемента

Производя круговую перестановку, получим окончательно