§ 3. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для систем с линейными неголономными связями первого порядка

Уравнения движения системы с неголономными связями первого порядка, линейными относительно обобщенных скоростей можно вывести также, как были выведены уравнения движения механической системы при дополнительных голономных связях.

Допустим, что на систему наложены неголономные связи вида

где коэффициенты — суть функции обобщенных координат и времени

Применим принцип мгновенной склерономизации уравнений связей. Представим уравнения (39) сначала в дифференциалах

а затем выводим соответствующие соотношения для мгновенно мыслимых возможных перемещений, т. е. полагаем в а все действительные дифференциалы обобщенных координат заменим возможными дифференциалами (вариациями координат). Тогда уравнения связей в вариациях примут вид

Сравнивая данные уравнения с уравнениями связей (26) в вариациях в случае системы с дополнительными голономными связями, видим, что структура уравнений в вариациях в обоих случаях совершенно одинакова. Следовательно, процесс вывода уравнений движения из общего уравнения динамики с применением аксиомы освобождаемости от связей тот же самый.

Таким образом, можно получить уравнения движения системы со связями (39), т. е. уравнения

Выражения обобщенных сил реакций связей через множители Лагранжа в данном случае можно получить по аналогии с выражениями обобщенных сил в уравнениях (38). Различие будет только в том, что коэффициенты уравнений голономных связей следует заменить коэффициентом в уравнениях неголономных связей (39).

Итак, уравнения движения при линейных неголономных связях первого порядка имеют вид

Присоединяя к уравнениям (43) уравнения связей (39), имеем систему дифференциальных уравнений, позволяющих определить все обобщенные координаты и неопределенные множители Лагранжа как функции времени.