Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для систем с дополнительными голономными связямиДопустим, что на материальную голономную систему с
Из этих уравнений непосредственно вытекают и дополнительные условия, налагаемые на обобщенные скорости
или в дифференциалах (после умножения каждого из уравнений (25) на
Уравнения связей в вариациях имеют вид
Из этих
Дальнейшее изучение системы в данном случае можно продолжить двумя путями. Во-первых, поскольку дополнительные связи голономны, благодаря уравнениям связей вида (24) можно выразить кинетическую энергию системы Т только через
Проинтегрировав уравнения (28) и найдя Реакции связей придется выявлять другим методом: после нахождения всех обобщенных координат Но иногда бывает предпочтительным и другой метод вывода уравнений движения системы при наличии уравнений связей вида (24), не требующий выражения уравнений связей относительно переменных Этот метод базируется на аксиоме классической механики, употребляемой под термином принцип освобождаемоспги от связей, установленным также Лагранжем [8]. Как известно, этот принцип позволяет считать механическую систему, при наложении на нее связей, формально остающейся свободной системой, но с приложенными к ней дополнительными силами-реакциями связей. Применение этого принципа при выводе уравнений движения механической системы при наличии голономных связей, выражаемых уравнениями (24) или уравнениями тех же связей в вариациях, начнем с того, что из общего уравнения динамики (7) не будем исключать реакции связей Таким образом, исходим из общего уравнения динамики для механической системы в самом первоначальном виде:
где
подставляемое в уравнение (7). После изменения порядка суммирования вводим обобщенные силы от активных сил
Затем, повторяя все вышеизложенное от (7) до (20), выведем общее уравнение динамики системы в обобщенных координатах, которое имеет вид
Отсюда уже на основании изложенного выше принципа эквивалентности общего уравнения динамики в независимых вариациях системы уравнений движения вытекают уравнения движения Лагранжа второго рода для системы с голономными связями (24). Следовательно,
Система уравнений, состоящих из уравнений связей (24) и уравнений движения (32), представляет собой систему уравнений для нахождения неизвестных функций Действительно, реакции связей являются, по существу, управляющими воздействиями, необходимыми для реализации программы движения, выражаемой связями (24). Подобная неопределенность позволяет создавать управляющие воздействия, оптимальные в том или ином смысле. В частности, если желательны управляющие воздействия с минимальной затратой энергии, то абсолютная минимальность достигается в случае идеальности связей, т. е. при условии, что сумма элементарных работ всех сил реакций связей равна нулю на любом возможном перемещении. В декартовых координатах эта идеальность выражается соотношением
а в обобщенных координатах
при любых Условие идеальности связей, выражаемое уравнением (33), позволяет также исключить динамическую неопределенность в управлении, т.е. выразить управляющие обобщенные силы с помощью уравнений связей. Действительно, присоединим к уравнению
Умножая первые
Получено опять уравнение в независимых вариациях
Отсюда находим искомое оптимальное управляющее воздействие:
Подставляя
Теперь имеется система Уравнения с неопределенными множителями называются также уравнениями Лагранжа первого рода для голономных систем.
|
1 |
Оглавление
|