§ 2. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для систем с дополнительными голономными связями

Допустим, что на материальную голономную систему с степенями свободы наложены еще некоторые дополнительные голономные связи, выражающиеся конечными уравнениями относительно обобщенных координат , возможно, времени

Из этих уравнений непосредственно вытекают и дополнительные условия, налагаемые на обобщенные скорости и их дифференциалы а также и на вариации координат Для выявления таких дополнительных условий составим полную производную по времени от каждого из уравнений (24). Получим

или в дифференциалах (после умножения каждого из уравнений (25) на )

Уравнения связей в вариациях имеют вид

Из этих уравнений можно выразить вариаций через остальные вариаций в виде конечных соотношений. Таким образом, число независимых вариаций уменьшается на число связей и число степеней свободы равно т. Но система остается голономной, так как из уравнений голономных связей (24) тоже можно выразить каких-то обобщенных координат в виде конечных соотношений через остальные координат. Независимые координаты обозначим зависимые — Между ними существуют зависимости вида

Дальнейшее изучение системы в данном случае можно продолжить двумя путями. Во-первых, поскольку дополнительные связи голономны, благодаря уравнениям связей вида (24) можно выразить кинетическую энергию системы Т только через и составить уравнения движения Лагранжа (23) относительно только независимых координат:

Проинтегрировав уравнения (28) и найдя в функциях из уравнений (27) найдем и все остальные зависимые координаты Задача будет решена полностью, за исключением вопроса о нахождении реакций связей.

Реакции связей придется выявлять другим методом: после нахождения всех обобщенных координат в функциях времени, значения вычисляют, воспользовавшись уравнениями (3), выражая их через найденные обобщенные координаты.

Но иногда бывает предпочтительным и другой метод вывода уравнений движения системы при наличии уравнений связей вида (24), не требующий выражения уравнений связей относительно переменных и

Этот метод базируется на аксиоме классической механики, употребляемой под термином принцип освобождаемоспги от связей, установленным также Лагранжем [8]. Как известно, этот принцип позволяет считать механическую систему, при наложении на нее связей, формально остающейся свободной системой, но с приложенными к ней дополнительными силами-реакциями связей.

Применение этого принципа при выводе уравнений движения механической системы при наличии голономных связей, выражаемых уравнениями (24) или уравнениями тех же связей в вариациях,

начнем с того, что из общего уравнения динамики (7) не будем исключать реакции связей полагая их идеальными, а используем это условие в дальнейшем при нахождении реакций связей.

Таким образом, исходим из общего уравнения динамики для механической системы в самом первоначальном виде:

где — реакции от налагаемых связей (24). Затем, заменяем опять

подставляемое в уравнение (7). После изменения порядка суммирования вводим обобщенные силы от активных сил и обобщенные силы от сил реакций связей по обычным формулам:

Затем, повторяя все вышеизложенное от (7) до (20), выведем общее уравнение динамики системы в обобщенных координатах, которое имеет вид

Отсюда уже на основании изложенного выше принципа эквивалентности общего уравнения динамики в независимых вариациях системы уравнений движения вытекают уравнения движения Лагранжа второго рода для системы с голономными связями (24).

Следовательно, можно считать независимыми; уравнения движения приобретут вид

Система уравнений, состоящих из уравнений связей (24) и уравнений движения (32), представляет собой систему уравнений для нахождения неизвестных функций . В решении задачи получается динамическая неопределенность: число искомых функций равно а число уравнений, удовлетворяющихся данными функциями, равно где Как уже отмечалось выше, эта неопределенность, допускаемая силами природы, не только не вредна, но и полезна.

Действительно, реакции связей являются, по существу, управляющими воздействиями, необходимыми для реализации программы движения, выражаемой связями (24). Подобная неопределенность

позволяет создавать управляющие воздействия, оптимальные в том или ином смысле. В частности, если желательны управляющие воздействия с минимальной затратой энергии, то абсолютная минимальность достигается в случае идеальности связей, т. е. при условии, что сумма элементарных работ всех сил реакций связей равна нулю на любом возможном перемещении. В декартовых координатах эта идеальность выражается соотношением

а в обобщенных координатах

при любых удовлетворяющихся уравнениями связей (24).

Условие идеальности связей, выражаемое уравнением (33), позволяет также исключить динамическую неопределенность в управлении, т.е. выразить управляющие обобщенные силы с помощью уравнений связей. Действительно, присоединим к уравнению уравнений связей (24); представив их в вариациях, получим систему уравнений:

Умножая первые уравнений на множители Лагранжа и вычитая последнее уравнение, имеем

Получено опять уравнение в независимых вариациях По принципу эквивалентности эта система равносильна системе уравнений

Отсюда находим искомое оптимальное управляющее воздействие:

Подставляя в уравнения движения системы (32), представим их в окончательном виде:

Теперь имеется система уравнений (38) и (24) для нахождения такого же числа неизвестных Динамическая неопределенность исключена.

Уравнения с неопределенными множителями называются также уравнениями Лагранжа первого рода для голономных систем.