Главная > Основы аналитической механики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для систем с дополнительными голономными связями

Допустим, что на материальную голономную систему с степенями свободы наложены еще некоторые дополнительные голономные связи, выражающиеся конечными уравнениями относительно обобщенных координат , возможно, времени

Из этих уравнений непосредственно вытекают и дополнительные условия, налагаемые на обобщенные скорости и их дифференциалы а также и на вариации координат Для выявления таких дополнительных условий составим полную производную по времени от каждого из уравнений (24). Получим

или в дифференциалах (после умножения каждого из уравнений (25) на )

Уравнения связей в вариациях имеют вид

Из этих уравнений можно выразить вариаций через остальные вариаций в виде конечных соотношений. Таким образом, число независимых вариаций уменьшается на число связей и число степеней свободы равно т. Но система остается голономной, так как из уравнений голономных связей (24) тоже можно выразить каких-то обобщенных координат в виде конечных соотношений через остальные координат. Независимые координаты обозначим зависимые — Между ними существуют зависимости вида

Дальнейшее изучение системы в данном случае можно продолжить двумя путями. Во-первых, поскольку дополнительные связи голономны, благодаря уравнениям связей вида (24) можно выразить кинетическую энергию системы Т только через и составить уравнения движения Лагранжа (23) относительно только независимых координат:

Проинтегрировав уравнения (28) и найдя в функциях из уравнений (27) найдем и все остальные зависимые координаты Задача будет решена полностью, за исключением вопроса о нахождении реакций связей.

Реакции связей придется выявлять другим методом: после нахождения всех обобщенных координат в функциях времени, значения вычисляют, воспользовавшись уравнениями (3), выражая их через найденные обобщенные координаты.

Но иногда бывает предпочтительным и другой метод вывода уравнений движения системы при наличии уравнений связей вида (24), не требующий выражения уравнений связей относительно переменных и

Этот метод базируется на аксиоме классической механики, употребляемой под термином принцип освобождаемоспги от связей, установленным также Лагранжем [8]. Как известно, этот принцип позволяет считать механическую систему, при наложении на нее связей, формально остающейся свободной системой, но с приложенными к ней дополнительными силами-реакциями связей.

Применение этого принципа при выводе уравнений движения механической системы при наличии голономных связей, выражаемых уравнениями (24) или уравнениями тех же связей в вариациях,

начнем с того, что из общего уравнения динамики (7) не будем исключать реакции связей полагая их идеальными, а используем это условие в дальнейшем при нахождении реакций связей.

Таким образом, исходим из общего уравнения динамики для механической системы в самом первоначальном виде:

где — реакции от налагаемых связей (24). Затем, заменяем опять

подставляемое в уравнение (7). После изменения порядка суммирования вводим обобщенные силы от активных сил и обобщенные силы от сил реакций связей по обычным формулам:

Затем, повторяя все вышеизложенное от (7) до (20), выведем общее уравнение динамики системы в обобщенных координатах, которое имеет вид

Отсюда уже на основании изложенного выше принципа эквивалентности общего уравнения динамики в независимых вариациях системы уравнений движения вытекают уравнения движения Лагранжа второго рода для системы с голономными связями (24).

Следовательно, можно считать независимыми; уравнения движения приобретут вид

Система уравнений, состоящих из уравнений связей (24) и уравнений движения (32), представляет собой систему уравнений для нахождения неизвестных функций . В решении задачи получается динамическая неопределенность: число искомых функций равно а число уравнений, удовлетворяющихся данными функциями, равно где Как уже отмечалось выше, эта неопределенность, допускаемая силами природы, не только не вредна, но и полезна.

Действительно, реакции связей являются, по существу, управляющими воздействиями, необходимыми для реализации программы движения, выражаемой связями (24). Подобная неопределенность

позволяет создавать управляющие воздействия, оптимальные в том или ином смысле. В частности, если желательны управляющие воздействия с минимальной затратой энергии, то абсолютная минимальность достигается в случае идеальности связей, т. е. при условии, что сумма элементарных работ всех сил реакций связей равна нулю на любом возможном перемещении. В декартовых координатах эта идеальность выражается соотношением

а в обобщенных координатах

при любых удовлетворяющихся уравнениями связей (24).

Условие идеальности связей, выражаемое уравнением (33), позволяет также исключить динамическую неопределенность в управлении, т.е. выразить управляющие обобщенные силы с помощью уравнений связей. Действительно, присоединим к уравнению уравнений связей (24); представив их в вариациях, получим систему уравнений:

Умножая первые уравнений на множители Лагранжа и вычитая последнее уравнение, имеем

Получено опять уравнение в независимых вариациях По принципу эквивалентности эта система равносильна системе уравнений

Отсюда находим искомое оптимальное управляющее воздействие:

Подставляя в уравнения движения системы (32), представим их в окончательном виде:

Теперь имеется система уравнений (38) и (24) для нахождения такого же числа неизвестных Динамическая неопределенность исключена.

Уравнения с неопределенными множителями называются также уравнениями Лагранжа первого рода для голономных систем.

1
Оглавление
email@scask.ru