Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для систем с дополнительными голономными связямиДопустим, что на материальную голономную систему с
Из этих уравнений непосредственно вытекают и дополнительные условия, налагаемые на обобщенные скорости
или в дифференциалах (после умножения каждого из уравнений (25) на
Уравнения связей в вариациях имеют вид
Из этих
Дальнейшее изучение системы в данном случае можно продолжить двумя путями. Во-первых, поскольку дополнительные связи голономны, благодаря уравнениям связей вида (24) можно выразить кинетическую энергию системы Т только через
Проинтегрировав уравнения (28) и найдя Реакции связей придется выявлять другим методом: после нахождения всех обобщенных координат Но иногда бывает предпочтительным и другой метод вывода уравнений движения системы при наличии уравнений связей вида (24), не требующий выражения уравнений связей относительно переменных Этот метод базируется на аксиоме классической механики, употребляемой под термином принцип освобождаемоспги от связей, установленным также Лагранжем [8]. Как известно, этот принцип позволяет считать механическую систему, при наложении на нее связей, формально остающейся свободной системой, но с приложенными к ней дополнительными силами-реакциями связей. Применение этого принципа при выводе уравнений движения механической системы при наличии голономных связей, выражаемых уравнениями (24) или уравнениями тех же связей в вариациях, начнем с того, что из общего уравнения динамики (7) не будем исключать реакции связей Таким образом, исходим из общего уравнения динамики для механической системы в самом первоначальном виде:
где
подставляемое в уравнение (7). После изменения порядка суммирования вводим обобщенные силы от активных сил
Затем, повторяя все вышеизложенное от (7) до (20), выведем общее уравнение динамики системы в обобщенных координатах, которое имеет вид
Отсюда уже на основании изложенного выше принципа эквивалентности общего уравнения динамики в независимых вариациях системы уравнений движения вытекают уравнения движения Лагранжа второго рода для системы с голономными связями (24). Следовательно,
Система уравнений, состоящих из уравнений связей (24) и уравнений движения (32), представляет собой систему уравнений для нахождения неизвестных функций Действительно, реакции связей являются, по существу, управляющими воздействиями, необходимыми для реализации программы движения, выражаемой связями (24). Подобная неопределенность позволяет создавать управляющие воздействия, оптимальные в том или ином смысле. В частности, если желательны управляющие воздействия с минимальной затратой энергии, то абсолютная минимальность достигается в случае идеальности связей, т. е. при условии, что сумма элементарных работ всех сил реакций связей равна нулю на любом возможном перемещении. В декартовых координатах эта идеальность выражается соотношением
а в обобщенных координатах
при любых Условие идеальности связей, выражаемое уравнением (33), позволяет также исключить динамическую неопределенность в управлении, т.е. выразить управляющие обобщенные силы с помощью уравнений связей. Действительно, присоединим к уравнению
Умножая первые
Получено опять уравнение в независимых вариациях
Отсюда находим искомое оптимальное управляющее воздействие:
Подставляя
Теперь имеется система Уравнения с неопределенными множителями называются также уравнениями Лагранжа первого рода для голономных систем.
|
1 |
Оглавление
|