Глава II. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

§ 1. Вывод уравнений Лагранжа

Допустим, что на систему, состоящую из материальных точек с массами действуют заданные силы Положение каждой точки определяется вектором в некоторой инерциальной системе декартовых координат; —

декартовы координаты точек. Кинематическое состояние системы характеризуем векторами: (скорость точки) и (ускорение точки).

Задача ставится следующим образом: при некоторых заданных силах т. е. силах, выражающихся известными функциями координат и скоростей (всех точек системы) и времени

а также при заданных связях требуется найти движение системы Допустим, что на систему наложены голономные связи, выраженные в декартовых координатах, позволяющие выразить все декартовых координат через каких-либо обобщенных координат не подчиненных никаким связывающим их соотношениям, т. е. система имеет степеней свободы. Следовательно, при реономных связях будет:

Требуется составить уравнения движения для нахождения переменных а также для вычисления реакций связи .

Составим сначала систему всех уравнений, выражающих движение данной материальной системы в декартовых координатах. Она сложится из системы динамических уравнений движения точек системы:

где — реакции связей, и системы уравнений голономных связей (в декартовых координатах число уравнений равно

Представляем уравнения (3), согласно принципу Даламбера, в виде

Затем составим скалярное произведение каждого из уравнений (4) на вектор о и просуммируем все уравнения, т. е. применим принцип Даламбера—Лагранжа. Появится уравнение

называемое общим уравнением динамики системы и выражающее принцип Даламбера—Лагранжа, по которому при движении материальной системы сумма элементарных работ всех сил, приложенных к точкам системы, включая реакции связей и даламберовы силы

инерции, равна нулю на любом возможном перемещении системы из ее положения в каждый данный момент времени

Допустим, теперь, что наложенные связи идеальны, т. е. сумма элементарных работ сил реакций равна нулю на любом возможном перемещении системы из положения системы в данный момент времени т.е.

Тогда общее уравнение динамики упростится и примет вид

Все дальнейшее будет заключаться в преобразовании левой части уравнения (7) к виду, выраженному через обобщенные координаты системы обобщенные скорости обобщенные ускорения и обобщенные силы

При этом установим ряд положений, имеющих принципиальное значение для аналитической динамики. Сначала выразим каждое возможное перемещение через вариации обобщенных координат

Имеем

Тогда (представляемая возможными дифференциалами по выразится так:

Подставляя (8) в (7) и меняя порядок суммирования по индексам представим (7) в виде

Вторая сумма в квадратной скобке представляет собой обобщенную силу индекса

Преобразуем первую сумму внутри квадратной скобки, сначала представив каждый член этой суммы в виде

Затем выведем два соотношения, которые назовем соотношениями Лагранжа при голономности системы. Для этой цели составим выражение скорости точки По правилу вычисления полной производной по от имеем

Составим теперь частную производную по от функции т. е. от всей правой части (11), учитывая, что аргумент по которому будем дифференцировать правую часть равенства (11), входит в эту правую часть линейно в виде множителя при Таким образом,

Равенство (12) и есть первое соотношение Лагранжа для голономной системы, справедливое только при отсутствии неголономных связей.

Для вывода второго соотношения составим сначала полную производную по от векторной функции . Поскольку то и зависит только от и от но не зависит ни от какого Тогда для вычисления следует дифференцировать по всем умножая на (по правилу дифференцирования сложных функций), и еще по т. е.

Теперь составим частную производную по от т. е. от правой части (11). В этой правой части множители зависит от При дифференцировании по появляются вторые частные производные по в каждом слагаемом т. е.

Сравнивая равенства (13) и (14), замечаем, что их правые части тождественно равны между собой. Следовательно, получаем второе соотношение Лагранжа для голономных систем

Здесь нет перестановочности порядка дифференцирования по и -полное дифференцирование и частное дифференцирование не могут быть переставимы; формула (15) выводится из структуры функции (для удобства запоминания условно можно считать якобы переставимость этих операций в данном случае).

Формулы (12) и (15) позволяют провести вывод уравнений движения для голономных систем. Подставим (12) и (15) в правую часть уравнения (10), которое примет вид

Учитывая (16), представим (9), вынося оператор дифференцирования за знак суммы, в следующем виде:

Выясним теперь смысл каждой из оставшихся сумм в круглых скобках (17). Для этого рассмотрим кинетическую энергию системы в ее первоначальном виде:

Составим теперь производную от Т сначала по Предварительно вспомним, что скалярное произведение векторов дифференцируется по скалярному аргументу по обычным правилам дифференцирования. Учитывая перестановочность скалярного произведения векторов, имеем

Таким образом, производная по скалярному аргументу от скалярного квадрата вектора равна производной по тому же аргументу от квадрата модуля данного вектора и выражается правой частью (17а).

То же самое характерно и для слагаемых во второй сумме

внутри малых скобок в (17):

Подставляя (17а) и (18) в (17) и вынося оператор дифференцирования за знак суммы, представим равенство (17) в виде

Каждая сумма по в левой части является кинетической энергией системы материальных точек; соотношение (19) приобретет вид

По существу равенство (20) представляет собой не что иное, как общее уравнение динамики (7), но выраженное в обобщенных координатах и обобщенных силах; множители выражают возможные перемещения системы. Весь вывод уравнения (26) проводится для любого возможного перемещения системы, т. е. перемещения, допускаемого связями. Но все между собой независимы, так как они появляются после учета голономных связей при рассмотрении системы в декартовых координатах.

Для вывода уравнений движения применим к уравнению (20) одно принципиальное существенное положение математического анализа. Для удобства и краткости назовем уравнение (20) уравнением в независимых вариациях обобщенных координат. Покажем, что это уравнение в вариациях математически эквивалентно системе уравнений, получаемой приравниванием нулю каждого из всех множителей при независимых вариациях.

Действительно, уравнение (20) справедливо для любого перемещения, характеризуемого любой совокупностью величин , являющихся независимыми, т.е. позволяющими придавать каждому из них произвольно малое числовое значение, независимо от того, какие значения будут придаваться вариациям других координат.

Применим уравнение в вариациях (20) к возможным перемещениям системы, соответствующим таким комбинациям значений вариаций пусть отличной от нуля вариацией в каждой их совокупности будет только одна а все остальные вариации равны нулям:

Тогда от суммы, находящейся в левой части уравнения (20) останется только одно слагаемое:

Но так как , то, чтобы удовлетворялось это уравнение,

необходимо, чтобы другой множитель был равен нулю, т. е.

Проводя такое рассуждение раз (по числу всех независимых вариаций), увидим, что при движении системы все обобщенные координаты должны удовлетворять системе из уравнений, каждое из которых имеет вид

Уравнения (23) называются уравнениями Лагранжа второго рода движения механической голономной системы, обладающей степенями свободы. Эти уравнения находятся в основе всей аналитической механики голономных систем. В случае, когда действующие силы имеют силовую функцию обобщенная сила, как известно, выражается через нее:

где П — потенциальная энергия.