§ 4. Применение n+1-мерного формализма к геометризации реономных систем

Сущность этого метода заключается в следующем. Время рассматривается как дополнительная -мерная координата. Все рассматриваемые объекты принадлежат некоторому -мерному пространству метрика которого определяется кинетическим потенциалом системы.

Уравнения движения системы можно получить методом Лагранжа и представить в виде

Эти уравнения полностью совпадают с уравнениями геодезических линий пространства если коэффициенты связности пространства удовлетворяют условиям

Выполнение этих условий позволяет получить:

Большой интерес представляет применение формализма к движению неголономных систем. Рассмотрим неголономную систему координат. Для реономных систем неголономные координаты определяются соотношениями

Разрешая эти уравнения относительно получаем

где

Пусть — функция обобщенных координат и времени. Выражение ее полного дифференциала имеет вид

Здесь приняты обозначения

Уравнения движения неголономной системы можно представить в виде

Обозначим обобщенное ускорение в неголономных координатах

По аналогии с (38) представим (39) в виде

где — неизвестные коэффициенты связнссти. Для их определения подставим значения в (40):

Так как

(кликните для просмотра скана)

представляют собой известные выражения символов Кристоффеля второго рода; — коэффициенты в выражении кинетической энергии системы.

Переходя к неголономной системе координат, представим выражение кинетической энергии в виде

Коэффициенты в неголономных координатах примут вид

(см. скан)

После несложных преобразований коэффициенты представим в виде

(кликните для просмотра скана)

Итак, искомые коэффициенты связности имеют вид