§ 14. Принцип наименьшего действия Лагранжа

В этом принципе движения сравниваются при следующих условиях: движения по заданной траектории и траектории сравнения происходят с одним и тем же числовым значением постоянной энергии, т. е. вариация постоянной полной энергии должна равняться нулю. Но тогда сравниваемые движения должны считаться протекающими за различные промежутки времени так как изменения Т и П по отдельности связаны этим условием.

Например, если в некоторой точке одной из сравниваемых траекторий потенциальная энергия больше, чем в соответствующей точке другой траектории, то кинетическая энергия на первой траектории соответственно уменьшается, т. е. скорости точек системы уменьшатся, что приведет к замедлению движения и к увеличению общего времени движения между заданными конечными точками обеих траекторий.

Таким образом, время при изучении заданных движений варьируется, а следовательно, вариации всех переменных и функций, характеризующих эти движения, должны быть уже не изохронными, а полными. В частности, и начальные и конечные моменты времени в одном движении уже не будут совпадать с соответствующими моментами на другой траектории. При начале движения одной системы другая система, начавшая движение раньше, может находиться в точке, не совпадающей с точкой, из которой начинается движение запоздавшей системы. Поэтому условия на концах сравниваемых траекторий не могут выражаться равенством нулю изохронных вариаций обобщенных координат. Принимается другое условие: полные вариации координат на концах должны быть равны нулю:

К этим условиям присоединяется вышеустановленное условие неизменности числового значения постоянной энергии в обоих движениях, т. е. полная вариация полной энергии системы должна быть равной нулю: Остаются, следовательно, еще уловия потенциальности действующих на систему активных сил, склерономности и идеальности связей, наложенных на систему, и отсутствия неголономных связей. При всех данных условиях принцип

наименьшего действия Лагранжа выражает следующее положение: полная вариация интеграла

в истинном движении системы равна нулю.

Этот интеграл называется действием по Лагранжу и обозначается А (от слова — действие).

Тогда принцип Лагранжа выразится следующим образом:

Для доказательства этого соотношения покажем, что оно вытекает из уравнений Лагранжа. Для этой цели следует вычислить левую часть (35). Предварительно представим подынтегральную функцию (34) в других видах. Вследствие того, что данная механическая система вполне склерономна, кинетическая энергия Т выражается однородной относительно обобщенных скоростей квадратичной формой , следовательно, можно применить формулу Эйлера для однородных функций, т. е. соотношение (82) (гл. 1, § 10):

Но где — обобщенный импульс системы, т. е.

Рассмотрим функции Лагранжа и Гамильтона Н. Они связаны соотношением (2) (гл. IV):

Тогда действие по Лагранжу представится в виде

Но так как на основании интеграла энергии а постоянная полной энергии во всех сравниваемых движениях имеет одно и то же числовое значение, то вариация

Теперь вычислим вариацию действия по Лагранжу:

или

Но — постоянная величина. Следовательно,

где скобки означают символ двойной подстановки. Следовательно,

Теперь применяем формулу для полной вариации определенного интеграла см. (16) гл. VII, § 5]:

Затем

Но вследствие переместимости дифференцирования по времени и изохронного варьирования

Кроме того, из уравнений Лагранжа, которым по предположению должна удовлетворять вытекает, что

и, следовательно,

или

или

Теперь на основании (8) (гл. VII) заменяем . Кроме того, Тогда

Но по условиям варьирования на концах отрезка траектории и первая сумма в (38) исчезает. Следовательно,

Подставляя (39) в (37), получаем

Полная вариация всего действия А в (37) на основании (36) и (40) примет вид

Заменяем его импульс выражением Тогда

Поскольку то

Содержимое в круглых скобках равно тождественно нулю. Следовательно, что и требовалось доказать.

Таким образом, принцип наименьшего действия Лагранжа доказан.

Выполняя в обратном порядке все операции, можно доказать и обратное предположение: для того чтобы движение системы удовлетворяло условию на отрезке траектории при всех принятых допущениях, необходимо, чтобы обобщенные координаты удовлетворяли уравнениям Лагранжа второго рода: