§ 6. Физический маятник

Дифференциальное уравнение движения физического маятника имеет вид где

— приведенная длина маятника.

Интегрируя это уравнение (или используя теорему об изменении кинетической энергии), получаем

где а — амплитудное значение угла отклонения маятника от вертикали. Учитывая, что

и обозначая

представим (9) в следующем виде:

Решение этого уравнения найдем с помощью эллиптических функций:

Откуда

где — момент времени, соответствующий прохождению маятником положения равновесия, зависящий, как и от начальных условий. Начальные условия, в свою очередь, зависят от и Вычислим обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате

где — масса маятника, — расстояние от оси подвеса маятника до его центра масс.

Зависимость начальных условий от параметров введем соотношениями

где изменяется от при вычислении и изменяется от 0 до при вычислении Сначала вычислим

Но

где

Затем

Тогда

и

Следовательно, и Но, с другой стороны,

Таким образом, для вычисления 1г необходимо использовать формулу дифференцирования амплитуды Якоби по модулю. Для вывода этой формулы рассмотрим эллиптический интеграл первого рода:

где — модуль, — амплитуда; не изменяя значения, сообщим модулю и амплитуде приращения Тогда

но

Второй из полученных интегралов преобразуем с помощью теоремы о среднем:

где

Следовательно, имеем

Отсюда

Разделив и перейдя к пределу при получим по определению производной

Используем теперь известное (см., например, [5], стр. 921, формула 8.123.1) соотношение:

где Е(и, — эллиптический интеграл второго рода, так называемый дополнительный модуль.

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, использование интегральных инвариантов позволяет не только исследовать движение изучаемой динамической системы, но и получать новые интегральные соотношения между специальными функциями, описывающими решение динамических задач.