§ 3. Основные виды каноничесних преобразований

Первый вид. Производящая функция, обозначаемая берется в виде

После подстановки (8) в разрешающее уравнение (7), имеем

или

Приравнивая нулю коэффициенты при и получаем такие соотношения:

Приравнивая нулю сумму остальных слагаемых в (9), найдем искомую новую функцию Гамильтона:

Покажем, что (10) выражают первоначальные координаты через другие Действительно, из первой группы уравнений находим в функциях от что можно представить в виде

Из второй группы уравнений находим Но из этих уравнений получаем

Подставляем из (13) в (12):

Равенства (13) и (14) выражают все прежние координаты через новые из этих же равенств можно получить и обратные выражения

Канонические преобразования переменных найдены. Подставляя выражения через и Р. в правую часть равенства (11), получаем выражение функции Гамильтона К в новых переменных Можно составить уравнения движения в новых переменных

Второй вид. Возьмем производящую функцию в виде

Тогда

Подставляя (15) в (7), получаем

или

Отсюда тем же путем, как и в предыдущем случае, имеем

Докажем, что (16) выражают преобразование: из первой группы

Из второй группы

Из (18) находим и, подставляя его значение (17), получаем

Существование преобразования доказано.

Третий вид. В третьем случае за производящую функцию примем.

Составляем

Подставляем это в (7):

После сокращений имеем

Четвертый вид. Производящая функция:

Производные:

Подставляем их в (7):

Отсюда