Глава XVI. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ КАК УРАВНЕНИЯ СВЯЗЕЙ

Как известно, уравнения Лагранжа с неопределенными множителями применяют к решению задач механики, если на движение механической системы наложены ограничения в виде голономных связей или неголономных линейных связей первого порядка. Отличительной особенностью этих уравнений является наличие реакций связей в явном виде. После решения задачи о движении системы и вычисления неопределенных множителей Лагранжа как функции времени, можно найти выражение реакции связи как функции времени. Уравнения Лагранжа имеют вид

Ниже рассмотрены только движения механических систем, на которые налагаются связи вида

В этом случае уравнения (1) примут вид

Присоединив к системе (3) уравнения связей (2), получим полную систему уравнений, в процессе решения которой находятся неизвестные Компоненты реакции связей

найдем по формулам

Рассмотрим теперь множество голономных связей вида (2), налагаемых на движение системы. Среди них, очевидно, найдутся и такие, которые являются интегралами в задаче о движении той же механической системы с теми же активными силами, но без наложенных голономных связей (2). Движение системы без наложенных голономных связей (2) дается обычными уравнениями Лагранжа второго рода:

Если на движение системы наложить связи (2), среди которых все являются интегралами системы (5), то такие связи не дадут реакций.

Теорема. Для того чтобы все дополнительные голономные связи (2), наложенные на движение механической системы, оказались интегралами системы (5), необходимо и достаточно, чтобы при решении системы (3) все неопределенные множители Лагранжа равнялись нулю. Теорема содержит две теоремы — прямую и обратную.

Прямая теорема. Если все связи (2) являются интегралами (5), то все равны нулю.

Обратная теорема. Если все равны нулю, то все связи (2) являются интегралами (5.

Приведем нестрогое доказательство обратной теоремы. Пусть при решении системы уравнений найдены такие величины что все становятся равными нулю; тогда удовлетворяют, очевидно, системе (5) и одновременно уравнениям связей (2); но тогда (2) являются интегралами (5).

Приведем ряд примеров, которые подтверждают теорему.

Пример 1. Рассмотрим известную задачу Ньютона-Кеплера. Заданы две массы; одна М, другая причем Массы взаимодействуют по закону Ньютона. Силовая функция имеет вид

Требуется определить движение массы относительно М.

Решение. Поместим в начало координат массу М и рассмотрим движение относительно М. Составим уравнения движения массы в полярных координатах. Представим выражение кинетической энергии

Система уравнений Лагранжа примет вид

или в явном виде

Из второго уравнения системы (9)

Система (9) имеет интеграл энергии

Интегрируя (10) и (11), находим зависимость между

где

Выражение (12) является интегралом системы (9). Возьмем теперь уравнение (12) за связь; тогда согласно прямой теореме неопределенный множитель должен равняться нулю. Составим уравнения движения массы со связью (13). Система примет вид

где

Система уравнений (13) тоже имеет интеграл энергии (11).

Найдем частные производные и подставим их в (13):

Из уравнения связи (12) определим и подставим в интеграл энергии

откуда

Умножим (16) на и учитывая, что имеем

Подставляя (17) во второе уравнение (14), получим

откуда следует, что

Пример 2. Рассмотрим движение твердого тела с одной закрепленной точкой в случае Лагранжа, т. е. случай, когда — произвольная, а также

Потенциальную и кинетическую энергии представим следующим образом:

В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера

Зададим закон движения твердого тела в виде

Задана регулярная прецессия гироскопа Лагранжа. Рассмотрим реакции связей. Система уравнений Лагранжа имеет вид

Составим уравнения, найдя все необходимые производные:

откуда

Отсюда

Итак, имеем три реакции:

По теореме закон движения твердого тела в виде уравнений (19) имеет место в случае Лагранжа, когда Поэтому имеем одно уравнение:

Уравнение (22) является соотношением между начальными данными, при соблюдении которого имеется регулярная прецессия в случае Лагранжа.

Упростим выражение (22):

Выражение в фигурных скобках получено Шази другим способом.

Из теоремы получаем метод понижения порядка системы, в том случае, если система уравнений (5) имеет первые интегралы. Покажем на примере задачи, каким образом это можно сделать?

Пример 3. Рассмотрим плоский случай круговой ограниченной задачи трех тел. Заданы две массы которые вращаются вокруг общего центра масс по окружности с угловой скоростью в плоскости третья масса значительно меньше и взаимодействует с и по закону Ньютона. Требуется определить закон движения .

Решение. Составим уравнения движения массы . В неподвижной системе координат уравнения имеют вид

Перейдем к вращающейся системе координат выполнив преобразование координат:

Найдем выражение кинетической энергии и силовой функции

Так как

имеем

Уравнения Лагранжа имеют вид

или в явном виде

Система уравнений (28) имеет интеграл Якоби

Положим, что на движение массы наложено ограничение в виде голономной связи . В этом случае система (28) примет вид

Из уравнения связи

Подставляя (31) в (29), имеем

Интегрируя (33), получаем

Найдем , используя (32) и первое уравнение системы (28):

Исключив из (34) х и у, получим

По теореме, если то функция интеграл, но в этом случае интеграл (33) окончательно доводит задачу до конца. Из условия имеем уравнение относительно Таким образом получено одно уравнение второго порядка относительно вида

Пример. Рассмотрим движение твердого тела с одной закрепленной точкой в случае

Кинетическая энергия и силовая функция в этом случае имеют вид

Уравнения движения твердого тела

Система (37) имеет интеграл энергии,

Наложим на движение тела голономную связь:

Уравнения движения тела со связью (39) примут вид

Из интеграла энергии с учетом (39) найдем 0.

Преобразуем третье уравнение системы (40):

Получена , как функция . По теореме связь есть интеграл, если Очевидно, что это возможно лишь при следующих соотношениях

между начальными данными:

Из (43) вытекает два частных случая, когда .

При имеем движение

При