§ 11. Задача Бегена

Тонкая вертикальная пластинка (рис. 2) может без трения вращаться вокруг вертикальной оси По прямолинейному каналу в пластинке без трения может перемещаться частица М. Известны: момент инерции пластинки относительно оси масса частицы угол между каналом и вертикалью

Исследуем движение системы в двух случаях:

1) начальная угловая скорость пластинки

2) пластинка вращается с заданной постоянной угловой скоростью .

Решение 1. Начальная угловая скорость пластинки Система имеет две степени свободы. Связи, наложенные на систему, являются голономными, стационарными. В качестве обобщенных координат приняты: расстояние и угол поворота пластинки относительно неподвижной плоскости

Кинетическая энергия системы

Потенциальная энергия системы

Функция Лагранжа

Поскольку является циклической координатой, то имеется циклический интеграл

Обобщенный импульс в этом случае представляет собой кинетический момент системы относительно оси

Так как на систему действуют только потенциальные силы, имеется закон сохранения механической энергии системы:

Величины К и могут принимать любые значения, ограниченные размерами пластинки и определяемые начальными условиями

Знак определяется знаком и, кроме того, , если

Подставляя (87) в (85), после преобразования получим

где

или, учитывая (86),

Рис. 3

Исследуем на фазовой плоскости движение частицы относительно пластинки. Уравнение (88) является уравнением фазовой траектории, однако для большей наглядности построим предварительно кривую третьего порядка и прямую на одном графике (рис. 3). Точки пересечения прямой и кривой определяют нулевые значения обобщенной скорости Поскольку то разность поэтому следует рассматривать точки кривой, расположенные ниже прямой. Так как при угловой коэффициент прямой

то прямая составляет с осью один и тот же тупой угол независимо от начальных условий. Кроме того, для всех и величина не зависит от знака Определим

Полагая найдем абсциссу точки перегиба кривой в первом квадранте

Величина не зависит от начальных условий и определяет в канале характерную для данной системы точку (рис. 2).

Подставив (92) в (91), найдем тангенс угла наклона касательной в точке перегиба:

Возможны следующие случаи взаимного расположения прямой и кривой для заданного позволяющие определить характер относительного движения частицы при любых начальных условиях:

Случай (касательная «круче» прямой), и прямая пересекает кривую в трех точках На рис. 3 штриховкой показаны значения Определяя можно построить фазовую траекторию (нижняя часть рис. 3). Фазовая траектория представляется двумя кривыми. Например, при начальных условиях, соответствующих точке частица при находится ниже плоскости и ей сообщается скорость по каналу вверх. Как показывает фазовая траектория, частица вначале движется вверх замедленно, в точке ее скорость становится равной нулю, после чего начинается ускоренное движение вниз. Такую характеристику можно получить и из физических соображений. При начальных условиях, соответствующих точке 63, частица будет совершать колебания (нелинейные).

Если величина невелика, то колебания можно считать малыми. Выражая в (89) переменную через получим следующее линеаризованное дифференциальное уравнение движения частицы:

Отсюда можно определить амплитуду колебаний, положение равновесия и циклическую частоту колебаний:

Из (93) следует, что малые колебания возможны при

Случай и прямая касается кривой в точке ниже точки перегиба, пересекая кривую в точке . В этом случае фазовая траектория справа преобразуется в точку 64, являющуюся точкой устойчивого относительного равновесия частицы Получаем равновесие типа центра.

Случай и прямая касается кривой в точке выше точки перегиба, пересекая кривую в точке . В этом случае фазовая траектория является сепаратрисой, а — седловой точкой (точкой неустойчивого равновесия).

На основании (88), (90), (91) и, учитывая, что

получим необходимые и достаточные условия относительного равновесия частицы (точки )

При этом

Из (95) следует, что т. е. равновесие частицы возможно во всех точках канала, где однако на основании (90), (91) и при равновесие — устойчиво, а при равновесие — неустойчиво. Это же следует из рассмотрения фазовых траекторий.

Случай и прямая пересекает кривую в одной точке или Фазовые траектории — расходящиеся.

Случаи 1, 2, 3, 4 охватывают все возможные начальные условия при и составляют фазовую характеристику относительного движения точки при

Случай (прямая «круче» касательной), при этом Прямая пересекает кривую в одной точке, равновесных положений нет.

Случай Прямая пересекает кривую в одной точке, неустойчивое равновесие при

Интересным является рассмотрение случаев:

Решение 2. Пластинка вращается с заданной постоянной угловой скоростью со. Система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты принято расстояние

Кинетическая энергия системы

Потенциальная энергия системы

Функция Лагранжа

Здесь интеграл энергии отсутствует, так как на систему наложена нестационарная связь однако, поскольку на систему действуют только потенциальные силы и функция явно от времени не зависит, то имеется интегоал Якоби — Пенлеве — обобщенный интеграл энергии:

Решение этого уравнения:

Отметим, что не зависит от

Для исследования относительного движения частицы на фазовой плоскости необходимо определить из (97):

Рассматривая различные случаи взаимного расположения прямой и параболы получим фазовый портрет системы. Все фазовые траектории — расходящиеся. Возможно неустойчивое равновесие частицы (седловая точка) при

Реакции связей, наложенных на частицу, следующие: — составляющая, перпендикулярная к оси канала в плоскости пластинки; — составляющая, перпендикулярная к плоскости пластинки. Их можно найти, составляя уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, которые при отсутствии непотенциальных сил принимают вид

Считаем, что система состоит из пластинки, поворачивающейся вокруг вертикальной оси, и частицы М, на которую наложены две голономные стационарные идеальные связи. В качестве обобщенных координат примем четыре величины: угол поворота пластинки и сферические координаты частицы Благодаря первой связи частица не может выйти за пределы конической поверхности, образованной вращением канала вокруг оси Благодаря второй связи частица не может выйти за пределы плоскости пластинки. Выбор этих связей является удобным, так как искомые реакции связей имеют направление внешних нормалей к поверхностям

Функция Лагранжа системы имеет вид

Приведем уравнения Лагранжа первого рода:

С учетом уравнений связей после преобразований получим:

Таким образом, первые два уравнения являются дифференциальными уравнениями движения системы в независимых обобщенных координатах, а два последние дают возможность найти неопределенные множители Лагранжа и обобщенные реакции связей.

Искомые реакции связей определяются следующим образом:

Отметим, что (точки на оси абсцисс фазовой плоскости) является необходимым и достаточным условием равенства нулю Реакция связи может быть равна нулю только при причем, в зависимости от начальных условий в одной или двух точках канала, однако встречаются случаи, когда такая точка отсутствует. При определенных условиях одновременно Реакция связи (так же, как и ускорение ) достигает экстремальных значений при

Ускорение становится равным нулю при что следует из (94). Этим случаям соответствуют касательные к фазовым траекториям, параллельные оси абсцисс.