§ 3. Задана Имшенецкого — Бургатти
Пусть 
независимых переменных, 
их неизвестная функция; 
ее частные производные первого порядка, так что
При этих обозначениях общий вид уравнений в частных производных первого порядка представляется так:
Пусть 
— некоторая заданная функция; возникает вопрос: какой должна быть зависимость между переменными 
и их функцией 
чтобы из нее путем дифференцирования и алгебраических исключений образовать данное уравнение.
Эта задача была поставлена В. Г. Имшенецким [5] еще в 1869 г.
В 1911 г. Бургатти поставил частную по сравнению с задачей В. Г. Имшенецкого, но вместе с тем более конкретную в смысле реализации и приложений, проблему: найти все такие виды зависимостей полного интеграла 
от произвольных постоянных интегрирования а, при которых исключение этих постоянных из
уравнений
позволяет получить уравнение вида
Обобщая результаты, полученные Лиувиллем, Штеккелем, Даль-Акква, Бургатти пришел к выводу, что если из уравнений
(где 
— однородная квадратичная относительно 
форма с коэффициентами, зависящими от координаты 
исключить все произвольные постоянные, кроме 
то получим уравнение вида (22). Полный интеграл уравнения (22) находится простой квадратурой:
Для склерономных систем, допускающих разделение переменных, выражения (23) и (24) оказались самыми общими; в этом был убежден и сам Бургатти, но доказать последнее утверждение ему так и не удалось.
Заметим, что 
в соотношениях 
может принимать 
значений: 
Давая эти значения 
получим 
типов уравнения (22). Следовательно, для склерономной механической системы с 
степенями свободы существует 
типов функции Гамильтона 
допускающей разделение переменных в соответствующем уравнении Гамильтона—Якоби. Это утверждение назовем теоремой Бургатти.
В 1963 г. М. С. Яров-Яровой [16] нашел общий вид уравнения Гамильтона—Якоби реономной механической системы, интегрируемого разделением переменных, и указал все случаи, которые после рекомендованной им замены переменных допускают разделение переменных. Из полученных М. С. Яров-Яровым результатов следует, что действительно результаты Бургатти — суть общие для случая склерономных систем и что теорема Бургатти справедлива и для реономных систем.
