Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 7. Обратная теорема НетерРассмотрим механическую систему с функцией Лагранжа
Тогда существует матрица
где
Выясним, можно ли, зная Если бесконечно малое преобразование
является преобразованием симметрии системы, то, как показано в § 4, должны выполняться условия (23). С другой стороны, согласно теореме Нетер, уравнения движения системы допускают
где
Напомним, что Представим условия (23) в виде
или, используя (40),
Очевидно, эти соотношения тождественно выполняются вдоль любой траектории. Представим их в развернутой форме:
Ясно, что вдоль любой траектории коэффициенты при всех равняются нулю, т. е.
Для каждого значения
Соотношения (41) выполняются вдоль любой траектории. Но система уравнений Лагранжа (15) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций Теперь остается найти Из (40)
Если
Но в § 4 показано, что, когда Таким образом, доказана обратная теорема Нетер: если известно Еще раз подчеркнем, что это преобразование неоднозначно. Частным случаем этой теоремы является следующая теорема: если известно Как нетрудно увидеть, эта теорема является обратной к «необобщенной» теореме Нетер (см. примечание к § 5). Рассмотрим два примера применения последней теоремы. Ограничимся случаем
где
Пример 1. Рассмотрим движение материальной точки массой
Здесь в качестве независимых координат Уравнения движения имеют вид
В этом случае существует первый интеграл
Найдем бесконечно малое преобразование, соответствующее этому первому интегралу и оставляющее действие инвариантным. Из формулы (41)
Подставляем эти значения в (43):
Учитывая (44), получаем искомое преобразование
Пример 2. Для малых колебаний математического маятника длиной
Здесь в качестве независимой координаты Уравнение движения имеет вид
Оно допускает первый интеграл
выражающий закон сохранения механической энергии маятника. Здесь, очевидно,
Из формул (41) и (43)
Тогда, используя (44), находим
Итак, в данной задаче преобразование
|
1 |
Оглавление
|