§ 7. Обратная теорема Нетер

Рассмотрим механическую систему с функцией Лагранжа Ее определитель Гесса

Тогда существует матрица обратная матрице Следовательно,

где

Выясним, можно ли, зная линейно независимых первых интегралов уравнений движения, найти соответствующее преобразование симметрии системы.

Если бесконечно малое преобразование

является преобразованием симметрии системы, то, как показано в § 4, должны выполняться условия (23). С другой стороны, согласно теореме Нетер, уравнения движения системы допускают линейно независимых первых интегралов

где

Напомним, что

Представим условия (23) в виде

или, используя (40),

Очевидно, эти соотношения тождественно выполняются вдоль любой траектории. Представим их в развернутой форме:

Ясно, что вдоль любой траектории коэффициенты при всех равняются нулю, т. е.

Для каждого значения получается линейных уравнений с неизвестными Приведем решение этой системы:

Соотношения (41) выполняются вдоль любой траектории. Но система уравнений Лагранжа (15) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций любое решение которой определяется начальными условиями Очевидно, каждому набору начальных значений соответствует определенная траектория. Так как зависят только от и а через любую точку пространства (если ее взять за начальную) проходит соответствующая траектория, то соотношения (41) выполняются в каждой точке этого пространства.

Теперь остается найти Из (40)

Если определяются формулами (41) однозначно, когда известны функции то величину можно найти лишь с точностью до произвольных функций Это значит, что взяв конкретные функции получим определенное преобразование симметрии. В частности, положив , получим

Но в § 4 показано, что, когда преобразование (39) оставляет действие инвариантным.

Таким образом, доказана обратная теорема Нетер: если известно линейно независимых первых интегралов уравнений движения, то бесконечно малое преобразование, определяемое формулами (39), (41) и (42), является преобразованием симметрии системы.

Еще раз подчеркнем, что это преобразование неоднозначно.

Частным случаем этой теоремы является следующая теорема: если известно линейно независимых первых интегралов уравнений движения, то существует единственное бесконечно малое преобразование, зависящее от параметров и определяемое формулами (39), (41) и (43), которое оставляет действие инвариантным.

Как нетрудно увидеть, эта теорема является обратной к «необобщенной» теореме Нетер (см. примечание к § 5).

Рассмотрим два примера применения последней теоремы. Ограничимся случаем и искомое преобразование представим в виде

где

Пример 1. Рассмотрим движение материальной точки массой под действием центральной силы с функцией Лагранжа вида

Здесь в качестве независимых координат выбраны полярные координаты

Уравнения движения имеют вид

В этом случае существует первый интеграл

Найдем бесконечно малое преобразование, соответствующее этому первому интегралу и оставляющее действие инвариантным. Из формулы (41)

Подставляем эти значения в (43):

Учитывая (44), получаем искомое преобразование

Пример 2. Для малых колебаний математического маятника длиной и массой функция Лагранжа имеет вид

Здесь в качестве независимой координаты взят угол отклонения маятника от вертикали

Уравнение движения имеет вид

Оно допускает первый интеграл

выражающий закон сохранения механической энергии маятника.

Здесь, очевидно,

Из формул (41) и (43)

Тогда, используя (44), находим

Итак, в данной задаче преобразование оставляет действие инвариантным.