§ 5. Тождество Якоби

Сложные скобки Пуассона подчиняются соотношению, носящему название тождества Якоби, которое можно сформулировать следующим образом: сумма трех сложных скобок Пуассона,

полученных из одних сложных скобок от трех функций путем циклической перестановки функций, тождественно равна нулю:

Доказательство можно провести методом математической индукции, проверив (15) для системы с одной степенью свободы, т. е. при двух канонических переменных затем для двух степеней свободы, т. е. для четырех канонических переменных

Проверим тождество (15) для случая одной степени свободы, т. е. для случая одной координаты и одного импульса.

Составим три сложные скобки Пуассона от трех функций

Подробно вычислим первые сложные скобки:

Но

Следовательно, подставляя (17) и (18) в (16), имеем

Следующие две сложные скобки можно составить путем циклической перестановки вместо вместо вместо Тогда

аналогично

Нетрудно проверить, что при сложении трех сложных скобок все члены взаимно уничтожаются. Итак, тождество Якоби для случая одной степени свободы доказано.

Проверка тождества Якоби в приведенном выше случае выявило простой метод доказательства тождества (15) в общем случае. Этот метод не требует громоздких вычислений, а основывается на приводимом ниже рассуждении.

Очевидно, что каждое слагаемое в сложных скобках Пуассона должно содержать частную производную второго порядка от одной из трех функций, входящих в сложные скобки. Но при рассмотрении каждых двух сложных скобок Пуассона, которые могут содержать вторые производные от одной и той же функции, например выясняется, что эти вторые производные входят в такую комбинацию с противоположными знаками так, что сумма соответствующих слагаемых тождественно равна нулю. Следовательно, сумма трех скобок, составленных из циклически расположенных трех функций, тождественно равняется нулю, что и доказывает тождество Якоби.