§ 2. Обобщенные координаты

Одной из отличительных особенностей аналитической механики является применение для изучения движения механических систем, так называемых «обобщенных координат». Обобщенными координатами механической системы называются некоторые целесообразно выбранные переменные, выражающие длины каких-то отрезков или величины углов и определяющие положение системы в пространстве. Такими координатами могут быть, в частности, криволинейные координаты: полярные на плоскости, цилиндрические, сферические и др.

Выразив декартовы координаты точек системы через обобщенные координаты, можно составить уравнения движения. Особенно полезным и даже необходимым является переход от декартовых координат к обобщенным координатам в случаях, когда на изучаемую механическую систему наложены связи.

Допустим, что на данную систему наложены голономные связи, выражающиеся конечными соотношениями между декартовыми координатами точек системы. Для упрощения обозначим все координат точек В. системы одним символом но с тремя последовательными для каждой точки индексами Тогда уравнения голономных связей примут вид

Таким образом, все декартовых координат связаны конечными соотношениями; из них можно выразить каких-либо

координат, например через остальные координат тоже в виде конечных соотношений:

где

причем

Таким образом, переменные с индексами считаются независимыми в том смысле, что принимаемые ими при движении системы числовые значения могут задаваться любыми. Число таких независимых координат равно разности между числом всех декартовых координат и числом голономных связей; обозначим это число Остальные же координат следует считать зависимыми координатами в том смысле, что какие бы ни действовали на систему активные силы координаты должны принимать только значения, удовлетворяющие условиям связей (1).

Если бы не было связей, то все координаты были бы независимыми и на их числовые значения влияли бы только заданные силы Отсюда следует, что при осуществлении связей появляются какие-то дополнительные силы, заставляющие двигаться систему по программе, выражаемой уравнениями связей. Эти силы, реализующие вместе с заданными силами движение системы согласно связям, можно назвать реакциями связей или управляющими воздействиями, если движение системы связано с каким-либо техническим процессом, например, когда уравнения связей выражают программу движения, в частности полета управляемого объекта.

Движение системы сголономными связями, таким образом, полностью определяется функциями Для их нахождения можно применить прямой метод Ньютона, т. е. составить уравнения движения системы в декартовых координатах.

Обозначим равнодействующую реакций связей, приложенных к каждой точке системы Тогда для всех точек системы динамические уравнения примут вид

В систему уравнений входят неизвестных функций: Для их нахождения следует присоединить уравнений связей (1), где Получим систему из уравнений относительно искомых функций.

Отметим замечательный факт: система уравнений (2) и (1) принципиально разрешима, так как число неизвестных функций больше числа уравнений. Но задача является в то же время неопределенной, что даже и необходимо, так как для решения всей системы достаточно задавать некоторые неизвестные в виде произвольных, но

определенных функций а остальные неизвестные функции могут быть найдены после интегрирования системы.

Более того, эта неопределенность позволяет выбрать произвольные функции таким образом, чтобы движение происходило оптимальным в каком-либо смысле. Так, полет космического летательного аппарата может управляться с различными целями: например, в смысле быстроты перелета из одной точки пространства в другую, или с требованием минимума расхода топлива. Все подобные проблемы входят в новую возникшую недавно науку «Теорию управления движениями и процессами», базирующуюся на аналитической механике и вариационном исчислении. Значение данной науки для человечества весьма велико.

Решение основной задачи управляемого движения, выражаемого уравнениями (2) в декартовых координатах, в большинстве случаев мало удобно. Выберем новые наиболее удобные переменные—обобщенные координаты так, чтобы их число было равно числу независимых декартовых координат и чтобы все могли быть выражены конечными соотношениями (не дифференциальными) через т. е. посредством некоторых формул:

Но тогда благодаря уравнениям голономных связей (1) и все остальные декартовы координаты выразятся через те же самые обобщенные координаты, а следовательно, и вообще все декартовы координаты выразятся через обобщенные координаты

Следовательно, и радиус-вектор каждой точки выразится через все обобщенные координаты т. е.