§ 4. Преобразования симметрии

Сначала сформулируем определение инвариантности действия. Назовем действие инвариантом группы преобразований если

для каждого из преобразований группы. В частности, (18) также справедливо для бесконечно малого преобразования (5) группы, конечно с точностью до членов, линейных относительно .

Пусть теперь — некоторая другая функция Лагранжа, такая, что для преобразования (5) с точностью до малых первого

прядка выполняется условие

Здесь имеется в виду не обычная инвариантность (18), поскольку в левой и правой частях (19) находятся разные функции Лагранжа и

Назовем преобразование (5) преобразованием симметрии, ли функция Лагранжа определяемая условием (19), позволяет получить те же уравнения движения, что и Легко видеть, что если преобразование симметрии применяется к какому-либо решению системы уравнений движения, то это решение преобразуется в некоторое другое решение той же системы уравнений. Но если для двух функций и получаем одни и те же уравнения движения, то они, как показано в предыдущем параграфе, должны быть связаны соотношением (16).

То же соотношение можно представить в переменных Уравнения (19) и (16) образуют основу законов сохранения, связанных с преобразованиями симметрии. Рассмотрим бесконечно малое преобразование группы в форме (5). Используя (19) и (16), выведем условие, позволяющее выяснить, является ли данное преобразование преобразованием симметрии системы. Для этого представим (19) с учетом (16):

или

Левая часть (20) при преобразовании (5) является бесконечно малой величиной порядка 8, следовательно, и правая часть должна быть величиной того же порядка. Поэтому будем употреблять вместо X. Очевидно, с точностью до малых первого порядка относительно можно считать

Учитывая это и используя выражение для вариации интеграла в форме (8), приведем (20) к виду

Но поскольку область интегрирования произвольна, имеем

Уравнение (22) применяется в качестве критерия для выяснения, является ли (5) преобразованием симметрии для данной системы. Функция Лагранжа и вариации переменных, определяемые преобразованием (5), используются для того, чтобы вычислить левую часть (22). Если она является полной производной по времени некоторой функции то (5) — преобразование симметрии, и функция определяется из (22).

Условие (22) можно представить в другом виде, воспользовавшись выражением для вариаций переменных из соотношений (6). Используя (14), представим (21) в виде

где функция представлена в виде

Учитывая произвольность области интегрирования и независимость получаем уравнений:

Если левая часть каждого из уравнений (23) оказывается полной производной по времени некоторой функции , то (6) является преобразованием симметрии, и определяется из (23).

В случае, когда бесконечно малое преобразование таково, что левая часть (22) [соответственно (23)] равняется нулю, то действие является инвариантом данного преобразования [в обычном смысле (18)]. Если к тому же то (22) принимает вид т. е. функция Лагранжа является инвариантом этого преобразования.

Пример. Рассмотрим малые колебания математического маятника длиной и массой с функцией Лагранжа где — угол отклонения маятника от вертикали.

Приведем уравнение движения

а) Рассмотрим преобразование

С помощью уравнения (22) проверим, является ли оно преобразованием симметрии. Здесь левая часть (22) равняется нулю, поэтому (25) — преобразование симметрии, а функция Лагранжа является инвариантом преобразования.

б) Преобразование

не является преобразованием симметрии для данной задачи, поскольку левая часть (22) равна , очевидно, не может быть полной производной по времени какой-либо функции.

Выясним, что произойдет, если применить эти преобразования к решению уравнения (24):

где А и а определяются начальными условиями.

Применив к этому решению преобразование а)

получим другое решение того же уравнения:

где

В случае преобразования б)

очевидно, это выражение не является решением уравнения (24).