3. Закон сохранения количества движения

Пусть обобщенная координата такова, что система может перемещаться в направлении как одно Целое. Например, может быть одной из декартовых координат центра масс. Тогда, очевидно, не войдет в выражение кинетической энергии Т, поэтому Уравнение Лагранжа для координаты имеет вид

или

Здесь V — потенциальная энергия системы.

Покажем теперь, что это уравнение выражает теорему об изменении количества движения, т. е. что обобщенная сила представляет сумму проекций всех внешних сил на направление — проекцию количества движения на то же направление. Обобщенная сила

где — внешние силы, действующие на систему. В данном случае

где I — единичный вектор направления

Следовательно,

сумма проекций всех сил на направление Поскольку кинетическая энергия системы имеет вид

то обобщенный импульс можно представить (учитывая, что в виде

Здесь — проекция количества движения системы на направление Предположим теперь, что рассматриваемая координата является циклической. Тогда

и получаем закон сохранения количества движения в проекции на направление

Итак, если обобщенная координата такова, что допускается перемещение системы как целого в направлении а сумма проекций всех внешних сил на это направление равна нулю, то согласно теореме Нетер из инвариантности относительно бесконечно малого преобразования

вытекает закон сохранения количества движения системы в направлении в форме