Глава XII. ТЕОРЕМА НЕТЕР И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ

Первые интегралы уравнений движения играют в механике большую роль. Даже в тех случаях, когда уравнения движения оказываются неинтегрируемыми, знание некоторых первых интегралов позволяет отчасти представить физическую картину изучаемого движения. Известные законы сохранения количества движения, кинетического момента, механической энергии системы являются первыми интегралами уравнений движения; они действительны для различных конкретных механических систем при определенных условиях, и способы нахождения их различны.

Теорема Эмми Нетер дает единый подход к получению всех законов сохранения для любой системы, уравнения движения которой можно получить из принципа Гамильтона—Остроградского. Она устанавливает связь между динамическими постоянными, т. е. первыми интегралами уравнений движения и условиями инвариантности действия относительно некоторой группы преобразований.

§ 1. Группы преобразований

Рассмотрим механическую систему с степенями свободы; ее положение в каждый момент времени определяется обобщенными координатами Движение системы рассмотрим как движение изображающей точки вдоль некоторой кривой в расширенном -мерном координатном пространстве где координатами являются величины и время

Рассмотрим в этом пространстве преобразования координат вида

где функции зависят от координат и независимых параметров причем являются существенными параметрами, т. е. и не могут быть выражены через меньшее их число. Уравнения (1) для каждой системы значений определяют преобразование точки из в точку Предположим, что функции непрерывны относительно и вместе со своими производными первого и второго порядка в некоторой области определения переменных, а якобиан преобразования не равняется нулю ни в одной точке области (здесь ). В этом случае существует обратное преобразование:

переводящее точку

Если — образ точки соответствующий определенной системе значений то при малых изменениях получим точки, принадлежащие окрестности точки Р. Поэтому преобразования непрерывны. Символически преобразования (1) и (2) при системе значений параметров обозначим является операцией, переводящей точку в точку зависящую от Р и значений

Применяя сначала преобразование а затем получаем преобразование называемое их произведением. Необязательно, что произведение двух преобразований принадлежит системе (1), т. е., что существуют такие значения параметров для которых преобразования одинаковы. Преобразование такое, что

называется обратным преобразованию . Преобразование Е, оставляющее неподвижной каждую точку называется тождественным.

Однако среди преобразойаний (1) может не быть преобразования, обратного данному, или тождественного.

Под группой преобразований будем понимать совокупность преобразований (1), подчиненную следующим условиям:

1. Если два преобразования принадлежат совокупности, то их произведение Та Та» принадлежит данной совокупности. Для того чтобы уравнения (1) удовлетворяли этому условию, необходимо, чтобы существовала система функций

определенных для любых систем значений такая, что уравнения

являются тождествами по

2. Выполняется ассоциативный закон

3. Существует тождественное преобразование такое, при котором

4. Для любого преобразования существует обратное преобразование , такое, при котором

Если выполнены условия 1—4, то преобразования (1) образуют конечную -параметрическую группу преобразований называемую группой Ли.

Пусть набор параметров определяет тождественное преобразование группы

Для упрощения положим Еслирассматривать значения достаточно близкие к нулевым, то преобразования (1) можно представить в виде

Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь членами, линейными относительно , получаем

где

Обозначая получаем преобразование

которое бесконечно мало отличается от тождественного преобразования.

Формула (3) осуществляет бесконечно малое преобразование группы. Систематическое изучение строения непрерывных групп при помощи бесконечно малых преобразований впервые предпринял норвежский математик С. Ли. Можно показать, что любое конечное преобразование группы можно рассматривать как результат бесконечного числа повторений бесконечно малых преобразований. Однако, если задано бесконечно малое преобразование группы, то не всегда можно получить конечное преобразование в форме (1). Рассмотрим примеры непрерывных групп.

Пример 1. Совокупность всех возможных параллельных переносов трехмерной системы координат

где — обычные декартовы координаты, образует группу параллельных переносов.

Пример 2. Совокупность всех вращений декартовой системы координат на плоскости

образует группу вращений на плоскости; бесконечно малое преобразование группы имеет вид

Пример 3. Совокупность всех возможных переходов от одной произвольной инерциальной системы координат к другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью

где — обычные декартовы координаты, образует группу Галилея.