§ 2. Интегрирование полной системы дифференциальных уравнений движения неголономной системы методом неполного интеграла

Непосредственное интегрирование полной системы дифференциальных уравнений (6), (2), описывающих движение неголономной механической системы с линейными связями первого порядка, позволяет получить произвольных постоянных, т. е. получим характерный для метода неполного интеграла

перекос постоянных. Это на первый взгляд чисто случайное сходство в действительности имеет логическую и глубокую связь.

Пусть дана неголономная механическая система с кинетической энергией непреобразованной с учетом неголономных связей (2), и уравнениями движения, приведенными к форме (6). Решим следующую задачу: данной неголономной механической системе с степенями свободы, уравнениями связей (2) и уравнениями движения (6) поставить в соответствие такую условную механическую систему с степенями свободы и функцией Лагранжа:

для которой бы связи (2) были частными первыми интегралами, алгебраическим следствием уравнений движения

для условной голономной механической системы, преобразованных с помощью этих частных первых интегралов.

Если поставленная задача будет решена, то, как показано ниже, проблема интегрирования системы дифференциальных уравнений (6), (2) сведется к проблеме построения некоторого неполного интеграла уравнения Гамильтона—Якоби условной голономной механической системы.

Пример 1. Материальная точка массой движется в пространстве трех измерений под действием потенциальных сил, силовая функция которых имеет вид

причем на движение материальной точки наложены две неголономные связи первого порядка:

и за обобщенные координаты приняты величины

— декартовы координаты точки.

Назовем механическую систему, полученную из данной неголономной системы при условии, что неголономные связи игнорируются базисной голономной, а механическую систему, которая ставится в соответствие данной неголономной системе, условной голономной механической системой.

Тогда функция Лагранжа базисной голономной механической системы примет вид

Исследуемая неголономная механическая система имеет одну степень свободы. Следовательно, полная система дифференциальных уравнений,

описывающих движение материальной точки, состоит из одного дифференциального уравцеция второго порядка, которое в соответствии с (3), (9) и (10) имеет вид

и двух уравнений первого порядка — уравнений связи (9).

Рассмотрим теперь условную голономную механическую систему с функцией Лагранжа:

В соответствии с (8) дифференциальные уравнения движения этой условной голономной механической системы имеют вид

Очевидно, что система (12) допускает два частных интеграла:

Следовательно, для определения соответствующего частного решения системы (12) получим следующую систему уравнений:

которая совпадает с системой дифференциальных уравнений (11), (9), описывающих движение материальной точки.

Возвратимся теперь к поставленной задаче и укажем алгоритм построения условной голономной механической системы и метод построения соответствующего частного решения уравнений движения условной голономной механической системы.

Итак, пусть имеется неголономная механическая система с линейными связями (2). Представим ее уравнения движения в форме (6). Дифференцируя (2) по времени и исключая с помощью (6) и с помощью (2), для получим выражения, по виду совпадающие с (6). Итак,

где — известные функции координат и времени.

Предположим теперь, что существует такая условная голономная механическая система, для которой (2) — суть линейные первые интегралы, а система уравнений (6) — алгебраическое

следствие ее уравнений движения и частных первых интегралов (2). Тогда дифференциальные уравнения движения условной голономной механической системы (8) обратятся в тождества при замене в них их значениями согласно (13) и (2). Эти тождества, очевидно, примут вид

где функции — функции координат, времени, искомых функций и их частных производных первого порядка по координатам и времени.

Тождества (14) справедливы лишь в том случае, если

Итак, получим

уравнений, линейных относительно искомых функций и их частных производных первого порядка. Число искомых функций равно

причем каждая из искомых функций может зависеть от переменных

Таким образом, для определения функций переменных имеется всего лишь линейных уравнений в частных производных первого порядка, и, следовательно, поставленная задача не имеет решения лишь в случае несовместности этой системы.

Предположим, что эта система совместна и что она проинтегрирована, т. е. найдена функция Лагранжа условной голономной системы. Вычислим функцию Гамильтона Н условной голономной механической системы и в уравнениях связей (2) заменим через так что уравнения (2) примут вид

Найдем теперь неполный интеграл

удовлетворяющий системе уравнений

Полную систему интегралов найдем по теореме Лемана-Филе.

Пример 2. Материальная точка массой перемещается в плоскости под действием потенциальных сил, силовая функция которых имеет вид

На движение материальной точки наложена неголономная связь

Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений, описывающих движение материальной точки, методом Гамильтона—Якоби.

Решение. Функция Лагранжа базисной голономной механической системы имеет вид

Следовательно, полная система дифференциальных уравнений, описывающих движение материальной точки, состоит из уравнения связи

и уравнения движения

Из (19) следует

Предположим, что условная голономная система существует. Пусть функция Лагранжа этой системы имеет вид

Тогда, представив уравнения движения этой условной голономной системы

в явном виде и исключив из них с помощью (19), (20) и (21), получим два квадратных относительно уравнения. Приравнивая нулю коэффициенты при второй, первой и нулевой степенях этих многочленов, получим систему шести уравнений в частных производных первого порядка относительно шести искомых функций каждая из которых может быть функцией трех переменных Это обстоятельство позволяет выбрать некоторые из искомых функций произвольно, а остальные функции найти интегрированием системы уравнений.

Предположим, что все искомые функции не зависят от времени; и далее, что

Тогда система уравнений в частных производных примет вид

Из (22) следует

Из (23) — (26) находим

где С — произвольная постоянная.

Для завершения интегрирования системы уравнений в частных производных необходимо выбрать функции и так, чтобы они удовлетворяли (24). Предположим, что

где — произвольная функция координат. Тогда, интегрируя (24) по находим

где — произвольная функция своего аргумента.

Нас, вообще говоря, устраивает любое частное (но не тривиальное!) решение системы уравнений в частных производных. Поэтому выберем для произвольных функций и постоянных, чтобы в дальнейшем не усложнять вычислений, следующие значения:

Итак, функция Лагранжа искомой условной голономной механической системы примет вид

Найдем обобщенные импульсы условной голономной системы:

Функция Гамильтона условной голономной системы примет вид

а уравнение связи (19) —

Найдем теперь неполный интеграл, удовлетворяющий системе уравнений,

Предположим, что переменные в неполном интеграле разделяются, т. е. что неполный интеграл имеет вид

Тогда согласно (28)

Следовательно,

Подставив (29) в (27), после очевидных преобразований получим

Так как левая часть последнего уравнения зависит от а правая — от то необходимо, чтобы

Тогда

и, следовательно,

В соответствии с теоремой Лемана-Филе интегралы уравнений движения имеют вид

или в явном виде

Последний интеграл найдем интегрированием выражения

Разрешая первое из соотношений (30) относительно получим

где вместо постоянных и введены новые независимые постоянные и определяемые по формулам

Заменяя в и интегрируя, получаем

где новая постоянная интегрирования.

Итак, по методу Гамильтона — Якоби получаем следующий вид зависимости от времени:

Очевидно, что метод Гамильтона—Якоби дает тот же результат, что и непосредственное интегрирование уравнений (19) и (20),

Отметим, что предлагаемый метод интегрирования уравнений движения неголономных механических систем (метод неполного интеграла) достаточно громоздкий. Однако он имеет и существенные положительные стороны:

1) активные силы, действующие на базисную голономную механическую систему, могут быть и непотенциальными;

2) его можно применить к интегрированию полной системы дифференциальных уравнений движения неголономной системы и в тех случаях, когда связи нелинейны относительно обобщенных скоростей;

3) его можно применить (после предварительных, чисто алгебраических преобразований — преобразований переобозначения) к интегрированию уравнений движения механических систем, подчиненных неголономным связям произвольной структуры и порядка, т. е. связям

вытекающим из -принципа Гаусса

где

и имеющим вид

где — множители Лагранжа.

— соответственно — функция Аппеля и обобщенные силы, активные силы, а связи принимаются идеальными в следующем

смысле:

4) этот метод в ряде случаев позволяет значительно уменьшить вычислительную работу, если полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение неголономной системы, можно разделить на две группы уравнений, одну из которых можно интегрировать независимо от другой.

Для иллюстрации последнего положения рассмотрим пример 1, где имеется следующая система уравнений:

Первые два уравнения этой системы можно интегрировать независимо от третьего уравнения. Система первых двух уравнений в примере 2 проинтегрирована методом Гамильтона—Якоби. Теперь для получения полной системы интегралов уравнений, описывающих движение материальной точки в примере 1, необходимо к интегралам (32) присоединить еще один, который получаем интегрированием третьего из уравнений (32), т. е. интеграл

где — независимая постоянная интегрирования.

Эта особенность предлагаемого метода может быть очень полезной при решении конкретных задач механики неголономных систем.